[論文レビュー] Iwasawa Theory for Symmetric Squares of Non-$p$-Ordinary Eigenforms

Kâzım Büyükboduk, Antonio Lei+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$a_p(f) = 0$ である非-$p$-通常の固形式の対称平方モチーフに対して、積分的符号付きベイリソン＝フラッシュ・オイラー系を確立し、整数的および解析的岩澤主予想の一方の包含関係を証明する。非整数のベイリソン＝フラッシュ類の新しい因子分解を通じて、二重符号付きコホモロジー類を構成することで、非通常の場合の非整数性の障害を克服し、$p$-進$L$-関数とオイラー系の道具立てを用いて、解析的主予想における可除性を証明する。非零および算術的仮定のもとで、その結果が得られる。

ABSTRACT

Let $f$ be a normalized cuspidal eigen-newform of level coprime to $p$ with $a_p(f)=0$. We formulate both integral signed Iwasawa main conjectures and analytic Iwasawa man conjectures attached to the symmetric square motive of $f$ twisted by an auxiliary Dirichlet character. We show that the Beilinson--Flach elements attached to the symmetric square motive factorize into integral signed Beilinson--Flach elements, giving evidence towards the existence a rank-two Euler system predicted by Perrin-Riou. We use these integral elements to prove one inclusion in the integral and analytic Iwasawa main conjectures.

研究の動機と目的

• 非-$p$-通常の固形式$f$に対して$a_p(f) = 0$である対称平方モチーフの整数的および解析的岩澤主予想における一方の包含関係を定式化し、証明すること。
• 非通常設定における非整数性の障害を克服し、非整数のベイリソン＝フラッシュ類から整数的で二重符号付きのオイラー系を構成すること。
• ベイリソン＝フラッシュ類の符号付き成分への因子分解を確立し、それがオイラー系の分配関係を満たし、全臨界範囲にわたって$p$-進$L$-関数を補間することを確認すること。
• オイラー系とグローバル双対性を用いて、解析的岩澤主予想における可除性を証明し、セレマー群と$p$-進$L$-関数を結びつけること。
• 対称平方モチーフの文脈において、ペリン＝ルイの高ランクオイラー系に関する予想に対する証拠を提供すること。

提案手法

• 偶数のディリクレ指標$\chi$に対して、$H^1_{\text{Iw}}(\mathbb{Q}(m), W_f^* \otimes W_f^*(1+\chi) \otimes H_{E,k+1}(\Gamma)^\iota)$におけるねじれたベイリソン＝フラッシュ類を構成する。
• 臨界範囲の補間を拡張する新しい方法を用いて、非整数のベイリソン＝フラッシュ類を四つの符号付きクラス$BF^+, BF^-, BF^\bullet, BF^\circ$に因子分解する。
• 符号付きコロンメル写像と局所制限付きオイラー系の道具立てを用いて、符号付きセレマー条件を定義し、符号付きクラスがオイラー系の分配関係を満たすことを証明する。
• グローバル・ポイユー＝タート双対性と再結合法則を適用し、符号付きクラスと$p$-進$L$-関数を結びつけ、解析的セレマー群の上界を得る。
• セレマー群の特徴的イデアルの上界と$p$-進$L$-関数の補間性を組み合わせることで、解析的主予想における可除性を確立する。
• $(\phi, \Gamma)$-加群理論とベイリソン＝フラッシュ類の線形独立性を用いて、解析的セレマー群および特徴的イデアルの構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非-$p$-通常の固形式$f$に対して$a_p(f) = 0$である対称平方モチーフに対して、整数的で二重符号付きのオイラー系を構成できるか？
• RQ2 ベイリソン＝フラッシュ類の符号付き成分への因子分解は、対称平方$L$-関数の全臨界範囲にまで拡張可能か？
• RQ3 構成されたオイラー系を用いて、$\text{Sym}^2 f \otimes \chi^{-1}$の解析的岩澤主予想における可除性を証明できるか？
• RQ4 $p$-進$L$-関数の非零性が、符号付きオイラー系の非自明性を示すために必要な条件は何か？
• RQ5 符号付きコロンメル写像とセレマー条件は、どのようにしてイwasawaモジュール構造を精密に制御するか？

主な発見

• 著者らは、$H^1_{\text{Iw}}(\mathbb{Q}(m), W_f^* \otimes W_f^*(1+\chi))$に属する四つの符号付きコホモロジー類$BF^+_m,\chi, BF^-_m,\chi, BF^\bullet_\cdot,\chi, BF^\circ_m,\chi$を構成し、それらがオイラー系の分配関係を満たすことを示した。
• $m$に依存しない整数$C$が存在し、すべての$\clubsuit \in \{+, -, \bullet, \circ\}$に対して$C \cdot BF^\clubsuit_{m,\chi} \in H^1_{\text{Iw}}(\mathbb{Q}(m), R_f^* \otimes R_f^*(1+\chi))$が成り立つ。これにより、整数性が保証される。
• クラス$BF^\circ_m,\chi$はすべての$m$に対して恒等的に消えるが、他の三つのクラスは$\text{Sym}^2 R_f^*(1+\chi)$のランク1のオイラー系を生成する。
• 符号付きクラス$C \cdot BF^+_m,\chi, C \cdot BF^-_m,\chi, C \cdot BF^\bullet_m,\chi$は、$\text{Sym}^2 R_f^*(1+\chi)$の（ランク1の）オイラー系をなす。
• 仮定$(\text{NV}), (\Psi_1), (\Psi_2), (\text{Im})$の下で、$\text{Col}^{\clubsuit \circ\text{resp}}(BF^{\spadesuit}_{1,\chi})$の非零性は、オイラー系の非自明性を示す。
• 本稿では、解析的岩澤主予想における可除性が証明された：$\text{char}_H(e\omega_j eH^2_{\text{Iw}}(\mathbb{Q}, V, D_\lambda^\chi)) \mid \text{char}_H(e\omega_j coker(\text{Col}^\clubsuit)) \cdot e\omega_j L_p^{\text{geom}}(\text{Sym}^2 f_\lambda \otimes \chi^{-1})$ として、$H$のイデアルとして成り立つ。