[論文レビュー] $J^+$-invariants for planar two-center Stark-Zeeman systems

Kai Cieliebak, Urs Frauenfelder+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2019

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、平面2中心スターク＝ジーゼン系における周期軌道に対して、Levi-CivitaおよびBirkhoff正則化を用いて、$J^{+}$-類似不変量四つ—$\mathcal{J}_0$、$\mathcal{J}_E$、$\mathcal{J}_M$、および$(\mathcal{J}_{E,M}, n)$—を導入する。これらの不変量は主に独立しており、巻き数の偶奇に依存する関係を持つ。内部接続和を用いて構築され、天体力学的モデル（例：制限3体問題）における位相的制約を分析する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the notion of planar two-center Stark- Zeeman systems and define four J+-like invariants for their periodic orbits. The construction is based on a previous construction for planar one-center Stark-Zeeman system in [Cieliebak-Frauenfelder-van Koert 2017] as well as Levi-Civita and Birkhoff regularizations. We analyze the relationship among these invariants and show that they are largely independent, based on a new construction called interior connected sum.

研究の動機と目的

• 2体の重力的またはクーロン的力に加え外部場が作用する系をモデル化する平面2中心スターク＝ジーゼン系へ、Arnoldの$J^+$-不変量を拡張すること。
• このような系における周期軌道の位相的および幾何的性質を捉える4つの異なる$J^+$-類似不変量を定義・分析すること。
• スターク＝ジーゼンホモトピー下での不変量の研究を通じて、周期軌道の位相的制約を理解すること。
• 部分的および同時正則化を用いて、1中心系から2中心系への不変量の一般化を図ること。
• 巻き数および偶奇条件に基づいて、不変量の独立性と相関関係を確立すること。

提案手法

• 各中心（地球および月）における部分的Levi-Civita正則化を用い、不変量$\mathcal{J}_E$および$\mathcal{J}_M$を導出する。
• 両中心における同時Birkhoff正則化により、第4の不変量$\mathcal{J}_{E,M}$と巻き数$n$が得られる。
• 内部接続和構成法を用いて、所望の不変量を持つ一般な自己交差曲線を構築し、位相的不変量の制御を可能にする。
• 不変量は、Moser正則化またはBirkhoff正則化エネルギー超曲面における正則化軌道の$J^+$-不変量として定義される。
• 巻き数$w_E$および$w_M$の偶奇を用いて、不変量間の関係を導出する。
• この手法は、シンプレクティック幾何学、ハミルトニアン系における特異点、および穴あき平面上の自己交差曲線の位相的不変量に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Arnoldの$J^+$-不変量は、2つの特異点を持つ2中心スターク＝ジーゼン系へどのように一般化可能か？
• RQ2 スターク＝ジーゼンホモトピー下で、2中心スターク＝ジーゼン系における周期軌道を分類する位相的不変量は何か？
• RQ3 不変量四つ$\mathcal{J}_0$、$\mathcal{J}_E$、$\mathcal{J}_M$、$(\mathcal{J}_{E,M}, n)$の独立性はどの程度か？
• RQ4 巻き数およびその偶奇は、不変量間の関係にどのように影響するか？
• RQ5 任意の値の不変量は、適切な周期軌道を構成することで実現可能か？

主な発見

• 不変量$\mathcal{J}_0$、$\mathcal{J}_E$、$\mathcal{J}_M$、$\mathcal{J}_{E,M}$は主に独立しており、$w_E$および$w_M$の巻き数の偶奇に依存する関係を持つ。
• 両$w_E$および$w_M$が奇数のとき、$\mathcal{J}_E = \mathcal{J}_M = 2\mathcal{J}_0 - 1$となり、この場合$\mathcal{J}_E$および$\mathcal{J}_M$が$\mathcal{J}_0$によって決定されることを示す。
• $n(K) = |w_0|$、$w_E(K)$、$w_M(K)$、$r(K)$が与えられたとき、ペア$(\mathcal{J}_0, \mathcal{J}_{E,M})$は独立に指定可能であり、自由度があることを示す。
• 任意に指定された値をとる一般な自己交差曲線が、$(\mathcal{J}_0, \mathcal{J}_{E,M}, n, w_E, w_M, r) \in (2\mathbb{Z}+1) \times 2\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z} \times (2\mathbb{N}_0+1) \times (2\mathbb{Z}+1) \times (2\mathbb{Z}+1) \times \mathbb{Z}$において存在する。
• 内部接続和構成法により、巻き数と$J^+$-不変量の寄与を制御した曲線の合成によって、任意の不変量値を実現可能である。
• Moser正則化軌道のねじれ型（knot type）は、スターク＝ジーゼンホモトピー下で不変であり、$\mathbb{R}P^3 \# \mathbb{R}P^3$において、すべてのこのようなねじれ型が2中心系のいずれかで実現可能である。