[論文レビュー] Jack polynomials and Hilbert schemes of points on surfaces

Hiraku Nakajima|ArXiv.org|Oct 31, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 44

ひとこと要約

この論文は、複素射影直線 ℂP¹ 上の線束の全空間である表面 X 上の点のヒルベルトスキームの等長コホモロジーを用いて、ジャック多項式の幾何的実現を確立する。パラメータ α = −⟨C,C⟩ におけるジャック多項式と一致する正規直交基底を S¹-等長局所化を用いて構成することで、ヒルベルトスキームを通じて対称関数と代数幾何学を結びつける。これにより、ジャック多項式がコホモロジー類として幾何的に解釈される新たな方法が得られる。

ABSTRACT

The Jack symmetric polynomials $P_λ^{(α)}$ form a class of symmetric polynomials which are indexed by a partition $λ$ and depend rationally on a parameter $α$. They reduced to the Schur polynomials when $α=1$, and to other classical families of symmetric polynomials for several specific parameters. It is well-known that Schur polynomials can be realized as certain elements of homology groups of Grassmann manifolds. The purpose of this paper is to give a similar geometric realization for Jack polynomials. However, spaces which we use are totally different. Our spaces are Hilbert schemes of points on a surface X which is the total space of a line bundle L over the projective line. The parameter $α$ in Jack polynomials relates to our surface X by $α= -$, where C is the zero section, and is the self-intersection number of C.

研究の動機と目的

• 表面 X 上の点のヒルベルトスキームを用いて、ジャック多項式の幾何的実現を提供すること。
• ジャック多項式のパラメータ α が X 内のゼロ切断 C の自己交わり数 ⟨C,C⟩ としてどのように解釈されるかを関連させること。
• S¹-等長局所化を用いてヒルベルトスキームのコホモロジーに正規直交基底を構成すること。
• 与えられたパrameter化の下で、この基底を Pλ(α) としてジャック多項式と特定すること。
• シュール多項式の場合を越えて、対称関数とヒルベルトスキームの間の関係を拡張すること。

提案手法

• X が複素射影直線 ℂP¹ 上の線束の全空間である表面 X 上の n 点のヒルベルトスキーム X^[n] を用いる。
• 定理 3.5 を用いて、複素化された対称関数の環を X^[n] の中程度の次元のホモロジー群の直和と同一視する。
• ホモロジーに、対称関数上の内積と同型な交差積を導入する。
• S¹-等長コホモロジーと局所化を適用し、固定点成分への制限によって正規直交クラスを構成する。
• ℂ*-作用の下で固定点に収束するようなストラトス Wλ′ を定義し、その閉包が単項対称関数に対応する。
• 正の正規バンドルの等長エーレル・クラスを用いて、直交性および遷移条件を満たすコホモロジークラス Fλ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャック多項式は、表面の点のヒルベルトスキーム上でのコホモロジー類として、どのように幾何的に実現できるか？
• RQ2 ジャック多項式のパラメータ α は、代数幾何学的に、どのように解釈されるか？
• RQ3 ヒルベルトスキーム上での S¹-等長局所化は、どのようにジャック多項式に同型な正規直交基底を生成するか？
• RQ4 単項対称関数からジャック多項式への遷移行列は、ストラトスの閉包と優位順序を用いて理解できるか？
• RQ5 正規化係数は、等長幾何学を用いて、どのように幾何的に解釈できるか？

主な発見

• 交差積の下で、iλ* (1 / e(Nλ≤0)) を用いて定義されるコホモロジークラス Fλ は、H2n(X^[n]) 内の正規直交基底をなす。
• クラス Fλ は Fλ = [LλC] + ∑μ<λ uλμ(α)[LμC] を満たし、単項クラスからの上三角行列遷移を示す。
• ジャック多項式におけるパラメータ α は、表面 X 内のゼロ切断 C の自己交わり数 −⟨C,C⟩ に一致する。
• ジャック多項式 Jλ(α) の正規化係数は、逆数 e(Nλ>0) に一致し、ℤ[α] 上の整数性を確認する。
• この構成により、マクドナルドの予想の一部が証明される：Jλ(α) は μ < λ に対して、単項対称関数 mμ の ℤ[α]-線形結合に属する。
• ヒルベルトスキームによる幾何的実現は、ウィルソンの位相空間的アプローチとは異なり、ジャック多項式と代数幾何学との間の新たな非自明な関係を提供する。