[論文レビュー] Jacob's ladders and the quantization of the Hardy-Littlewood integral

Jan Moser|ArXiv.org|Sep 22, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、非線形積分方程式の解たるヤコブの階段——つまり、チッチマーシュ＝コッバー＝アトキンソンの公式を符号化する——を用いて、ハーディー＝リトルウッド積分の量子化を新たに導入する。これにより、積分の体積が等しく分割可能となり、例えばプランク量子 $ h = 6.6 \times 10^{-27} $ erg·sec に相当する部分に分割可能である。主な結果は、連続する点 $ T_\nu $ 間の間隔について、漸近的に正確な公式が得られ、各セグメントが積分に正確に $ \omega $ を寄与させることを保証するもので、誤差項は $ \mathcal{O}(\ln T / T) $ として減少する。

ABSTRACT

We use Jacob's ladders to solve the fine problem how to divide of the Hardy-Littlewood integral to equal parts, for example of magnitude $h=6.6 imes 10^{-27}$ (the numerical value of elementary Planck quantum). The result of the paper cannot be obtained in known theories of Balasubramanian, Heath-Brown and Ivic.

研究の動機と目的

• ハリー＝リトルウッド積分を等体積部分に分割する長年の問題を解くこと、特に基本的プランク量子に一致する値に対して。
• バルサブラマニアン、ヒース＝ブラウン、イヴィッチの既知の誤差境界を改善し、積分のほぼ正確な漸近的公式を導く方法を開発すること。
• 各区間 $ [T_\nu, T_{\nu+1}] $ が積分 $ \int Z^2(t) dt $ に正確に $ \omega $ を寄与させるような列 $ \{T_\nu(\omega)\} $ を確立すること。
• シフトパラメータ $ \tau $ を導入することで、等体積性を保つ一連の列の一般化を図ること。

提案手法

• チッチマーシュ＝コッバー＝アトキンソンの公式を符号化する非線形積分方程式の解たるヤコブの階段 $ \varphi(T) $ を用いる。
• 漸近的公式 $ \int_0^T Z^2(t) dt = F[\varphi(T)] + \mathcal{O}(\ln T / T) $ を適用し、ここで $ F(y) = \frac{y}{2}\ln\frac{y}{2} + (c - \ln 2\pi)\frac{y}{2} + c_0 $ である。
• 各 $ \nu $ に対して $ F[\varphi(T_\nu)] + \mathcal{O}(\ln T_\nu / T_\nu) = \omega\nu $ を解くことにより、列 $ \{T_\nu(\omega)\} $ を構築し、$ \int_{T\nu}^{T_{\nu+1}} Z^2(t) dt = \omega $ を保証する。
• 間隔の公式 $ T_{\nu+1} - T_\nu = \frac{\omega + \mathcal{O}(\ln T_\nu / T_\nu)}{(\ln \frac{\varphi(T_\nu)}{2} - a) \tan[\alpha(T_\nu, T_{\nu+1})]} $ を導出する。ここで $ \alpha $ は $ y = \frac{1}{2}\varphi(T) $ 上の弦のなす角である。
• 等積分条件を保ちつつ、複数の量子化列を生成可能な、シフトされた族 $ \{T_\nu(\omega, \tau)\} $ を導入する。
• テイラー展開と平均値定理の推定を用いて誤差項を制御し、$ \mathcal{O}(\ln T / T) $ の減少を達成。これは、以前の $ \mathcal{O}(T^{1/3 + \epsilon}) $ の境界を上回る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハリー＝リトルウッド積分は、$ \omega = 6.6 \times 10^{-27} $ のような等体積セグメント、例えばプランク量子に一致するものに分割可能だろうか？
• RQ2 各区間 $ [T_\nu, T_{\nu+1}] $ が積分 $ \int Z^2(t) dt $ に正確に $ \omega $ を寄与させるような列 $ \{T_\nu\} $ を構築することは可能だろうか？ また、誤差項は 0 に減少するだろうか？
• RQ3 バルサブラマニアン、ヒース＝ブラウン、イヴィッチの既知の結果と比較して、ヤコブの階段の使用により、ハリー＝リトルウッド積分の漸近的公式における誤差項はどのように改善されるか？
• RQ4 量子化は、等積分性を保つ一パrameter族 $ \{T_\nu(\omega, \tau)\} $ に一般化可能だろうか？

主な発見

• 本稿は、任意の $ \omega \in [\delta, \Delta] $ に対して、$ \delta > 0 $、$ \Delta < \infty $ を満たす列 $ \{T_\nu(\omega)\} $ を構築し、$ \int_{T_\nu}^{T_{\nu+1}} Z^2(t) dt = \omega $ を満たす。
• 連続する点間の間隔は $ T_{\nu+1} - T_\nu = \frac{\omega + \mathcal{O}(\ln T_\nu / T_\nu)}{(\ln \frac{\varphi(T_\nu)}{2} - a) \tan[\alpha(T_\nu, T_{\nu+1})]} $ を満たす。ここで $ a = \ln 2\pi - 1 - c $ である。
• $ \omega = h / \pi = 6.6 \times 10^{-27} $ の場合、$ \pi \int_{\hat{T}_\nu}^{\hat{T}_{\nu+1}} Z^2(t) dt = h $ という量子化則が達成され、これは等体積回転体のセグメントに対応する。
• 積分の漸近的公式における誤差項は $ \mathcal{O}(\ln T / T) $ であり、$ T \to \infty $ のとき 0 に収束する。これはバルサブラマニアンの結果における $ \limsup |R(T)| = +\infty $ とは対照的である。
• 間隔の算術平均 $ \frac{1}{N_0} \sum_{k=1}^{N_0} (T_{\nu+k} - T_{\nu+k-1}) \sim \frac{\omega}{\ln T_\nu} $ は、$ \omega / \ln T_\nu $ に比例する安定した平均間隔を示している。
• 本手法は、等積分条件を保ちつつ、$ \{T_\nu(\omega, \tau)\} $ の一連の列への一般化が可能であり、連続的な量子化分割の族を可能にする。