[論文レビュー] Jacob's ladders, Riemann's oscillators, quotient of two oscillating multiforms and set of metamorphoses of this system

Jan Moser|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、臨界線 ℑ(s) = 1/2 上でのリーマン・ジータ関数のリーマン・ジーゲル公式に基づく2つの多様形式の商として定義される、新規の周期的系、Q系を導入する。この系は、臨界線上の周期的挙動と絶対収束領域 ℜ(s) > 1 におけるモービウス関数の無限級数との間の深い関係を確立する、無限個の変容を示す。

ABSTRACT

In this paper we introduce complicated oscillating system, namely quotient of two multiforms based on Riemann-Siegel formula. We prove that there is an infinite set of metamorphoses of this system (=chrysalis) on critical line $σ=\frac 12$ into a butterfly (=infinite series of M\" obius functions in the region of absolute convergence $σ>1$).

研究の動機と目的

• リーマン・ジーゲル公式に基づく臨界線 ℑ(s) = 1/2 上の周期的系の構造的変容を調査すること。
• Z(t) = e^{iϑ(t)}ζ(1/2 + it) を根拠として、2つの多様形式の商として定義される新規系、Q系を定義すること。
• Q系を臨界線から ℜ(s) > 1 の領域における無限個のモービウス関数級数へ変容させる無限集合の変容を確立すること。
• Q系のさなぎ（臨界線 ℑ(s)=1/2 上の周期的多様形式）からバッタ（ℜ(s)>1 の領域におけるモービウス級数）への変容を制御するパラメータ α₀(T), ..., αₖ(T) を特定すること。

提案手法

• Q系は、G(x₁,…,xₖ;y₁,…,yₖ) = ∏ᵣ₌₁ᵏ |Z(xᵣ)/Z(yᵣ)| として定義され、ここで Z(t) はリーマン・ジーゲルZ関数である。
• 本手法では、リーマン・ジーゲル漸近展開：Z(t) = 2∑ₙ≤τ(t) n⁻¹ᐟ² cos(ϑ(t)−t ln n) + O(t⁻¹ᐟ⁴) を用いる。ただし τ(t) = √(t/(2π)) である。
• 制御パラメータ αᵣ(T), βᵣ(T) は、ヤコブの階段の繰り返し逆写像 φ₁ᵏ(t) を用いて構成され、これは dφ₁/dt = Z²(t)/(2ω(t)) を満たす解であり、ω(t) ∼ ln t である。
• 解析は、区間 [T, T+U] 及びその φ₁ᵏ による像の積分に平均値の定理を適用することに依拠する。ここで U = ln ln T + Θ ln T、Θ ∈ [0,1] である。
• 変換は漸近的同値性 ∏ᵣ₌₁ᵏ |Z(αᵣ)/Z(βᵣ)| ∼ √ζ(2σ) |∑ₙ₌₁^∞ μ(n)/n^{σ+iα₀}| により検証され、T → ∞ のとき成り立つ。
• 主な技術的ステップは、ω(t) の漸近的挙動とヤコブの階段構造を用いて、Z²(αᵣ) と Z²(βᵣ) の積を比 (U / (T̂ₖ₊ᵤ − Tₖ)) lnᵏT に結びつけることである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン・ジーゲル公式に基づく2つの多様形式の商は、臨界線 ℑ(s) = 1/2 から半平面 ℜ(s) > 1 へ構造的変容を遂げることができるか？
• RQ2 Q系が周期的多様形式からモービウス級数へ変容するのを制御するパラメータは何か？
• RQ3 このような変容が無限個存在するか。もし存在するならば、それらは T と Θ の観点からどのようにパrameter化されるか？
• RQ4 繰り返し逆写像 φ₁ᵏ(t) とヤコブの階段構造は、モービウス級数への漸近的同値性をどのように促進するか？
• RQ5 Z値の積と ℜ(s) > 1 の領域におけるモービウス関数のディリクレ級数との間の定量的関係は何か？

主な発見

• Q系は、臨界線上の2つの多様形式の商として定義され、σ > 1 の領域において無限級数 |∑ₙ₌₁^∞ μ(n)/n^{σ+iα₀}| へ無限個の変容を遂げる。
• T → ∞ のとき、漸近的同値性 ∏ᵣ₌₁ᵏ |Z(αᵣ)/Z(βᵣ)| ∼ √ζ(2σ) |∑ₙ₌₁^∞ μ(n)/n^{σ+iα₀}| が成り立つ。ここで αᵣ と βᵣ はヤコブの階段の繰り返し逆写像により定義される。
• 制御パラメータ α₀(T), ..., αₖ(T) と β₁(T), ..., βₖ(T) は、T < α₀ < α₁ < ... < αₖ および T < β₁ < ... < βₖ を満たし、変容における順序構造を保証する。
• 積 ∏ᵣ₌₁ᵏ Z²(αᵣ) ∼ ζ(2σ) (U / (T̂ₖ₊ᵤ − Tₖ)) lnᵏT / |ζ(σ + iα₀)|² が成り立ち、周期的挙動と臨界帯におけるゼータ関数との関係を示す。
• 積 ∏ᵣ₌₁ᵏ Z²(βᵣ) ∼ (U / (T̂ₖ₊ᵤ − Tₖ)) lnᵏT が成り立ち、βᵣ の値が漸近的バランスを維持するように分布していることが示される。
• 変換は、区間 [T, T+U] 及びその像の積分に平均値の定理を適用することにより支配され、U = ln ln T + Θ ln T である。これにより最終的な因数分解公式 ∏ᵣ₌₁ᵏ |Z(αᵣ)/Z(βᵣ)| ∼ √ζ(2σ)/|ζ(σ + iα₀| が得られる。