[論文レビュー] Jacobi forms and the structure of Donaldson invariants for 4-manifolds with b_+=1

Lothar Göttsche, Don Zagier|ArXiv.org|Dec 26, 1996

Geometric and Algebraic Topology被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、b_+=1 である4次元多様体のドナルドソン不変量の構造定理を確立し、周期点 F と G 間の壁越えの差をホロノミック形式とモジュラー性質に関連付けることで、それらの差が k 階の単純型条件を満たすことを証明する。明示的な公式が基本類と普遍的なモジュラー形式を用いて与えられ、クロンハイマー＝マーラーの結果を拡張し、コツチック＝モーガンの予想を通じてセイバーグラント＝ウィッテン不変量と関連付ける。

ABSTRACT

We prove structure theorems for the Donaldson invariants of 4-manifolds with b_+=1, similar to those of Kronheimer and Mrowka in the case b_+>1: We show that for a 4-manifold with b_+=1 and two different period points F, G on the boundary of the positive cone, the difference of the Donaldson invariants at F and G satisfies the k^{th}-order simple type condition for a number k, explicitely given in terms of F and G. We give a formula for this difference in terms of a set of basic classes, expressed in a universal formula involving modular forms. The leading terms coincide with the formulas of Kronheimer and Mrowka in the simple type case. The basic classes are related to the Seiberg Witten invariants. The proof of these results is based on the conjecture of Kotschick and Morgan on the structure of the wall-crossing terms. We relate the problem to new theta functions for indefinite lattices.

研究の動機と目的

• b_+>1 の場合から b_+=1 の場合へのドナルドソン不変量の構造定理の拡張を図ること。
• b_+=1 の場合に、正の錐の境界を越える際のドナルドソン不変量の振る舞いを理解すること。
• 周期点 F と G の間の不変量の差について、モジュラー形式と基本類を用いた明確な公式を確立すること。
• 壁越え項を不定型格子上のシータ関数に関連付け、この文脈においてコツチック＝モーガンの予想を検証すること。

提案手法

• 壁越え項に関するコツチックとモーガンの予想を基礎的仮定として用いる。
• ジャコビ形式の理論を用いて、壁越えにおけるドナルドソン不変量の構造を符号化する。
• 周期点 F と G の間の不変量の差を表す普遍的な公式を導出する。この公式にはモジュラー形式が関与する。
• 不変量のモジュラー構造を通じて、基本類をセイバーグラント＝ウィッテン不変量に関連付ける。
• 壁越えの振る舞いをモデル化するため、不定型格子に対する新しいシータ関数を導入する。
• 代数幾何学とモジュラー形式論を用いて、b_+=1 の設定における不変量を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 b_+=1 である4次元多様体において、正の錐内の壁を越える際、ドナルドソン不変量はどのように振る舞うか？
• RQ2 2つの異なる周期点 F と G におけるドナルドソン不変量の差を支配する正確なモジュラー構造は何か？
• RQ3 b_+=1 の場合に、不変量の基本類はセイバーグラント＝ウィッテン不変量とどのように関係するか？
• RQ4 b_+=1 の設定において、壁越え項は普遍的にモジュラー形式を用いて表現可能か？
• RQ5 不定型格子のシータ関数は、これらの不変量の構造を記述するために果たす役割は何か？

主な発見

• 周期点 F と G の間のドナルドソン不変量の差は、k 階の単純型条件を満たし、k は F と G の相対的位置によって明示的に定まる。
• 不変量の差を表す普遍的な公式が、モジュラー形式と基本類の集合を用いて与えられ、クロンハイマー＝マーラーの公式を一般化する。
• 差の公式の主要項は、b_+>1 の場合に既知の単純型公式と一致する。
• 基本類が、不変量のモジュラー構造を通じてセイバーグラント＝ウィッテン不変量と関係していることが示された。
• 壁越えの振る舞いは、不定型格子上の新しいシータ関数を用いてモデル化され、関係するモジュラー形式の幾何的実現が得られた。
• 結果はコツチック＝モーガンの予想に依存しており、主な構造定理の導出にはこの予想が仮定されている。