[論文レビュー] Jacobi Structures of Evolutionary Partial Differential Equations

Siqi Liu, Youjin Zhang|ArXiv.org|Oct 12, 2009

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、発展型偏微分方程式の逆変換から生じる非局所ハミルトニアン系を記述するため、無限次元ジャコビ構造を導入する。非局所的多スカラーへのシューオテン＝ニーレンハイズ括弧の一般化、逆変換におけるジャコビ構造の不変性の証明、および可積分系におけるリシュナーツ＝ジャコビコホモロジーの計算と双ジャコビ構造の研究のための枠組みを確立する。

ABSTRACT

In this paper we introduce the notion of infinite dimensional Jacobi structure to describe the geometrical structure of a class of nonlocal Hamiltonian systems which appear naturally when applying reciprocal transformations to Hamiltonian evolutionary PDEs. We prove that our class of infinite dimensional Jacobi structures is invariant under reciprocal transformations. The main technical tool is in a suitable generalization of the classical Schouten-Nijenhuis bracket to the space of the so called quasi-local multi-vectors, and a simple realization of this structure in the framework of supermanifolds. These constructions are used to the computation of the Lichnerowicz-Jacobi cohomologies of Jacobi structures. We also introduce the notion of bi-Jacobi structures and consider the integrability of a system of evolutionary PDEs that possesses a bi-Jacobi structure.

研究の動機と目的

• 逆変換の後における発展型偏微分方程式の非局所ハミルトニアン構造の幾何的枠組みを構築すること。
• 無限次元ジャンクティル空間における準局所的多スカラー空間への古典的シューオテン＝ニーレンハイズ括弧の一般化。
• 局所的ハミルトニアン系を超えた理論に拡張するため、逆変換におけるジャコビ構造の不変性を証明すること。
• スーパーマニフォールド技法を用いてリシュナーツ＝ジャコビコホモロジーを計算し、変形理論におけるその役割を分析すること。
• 双ハミルトニアン構造の一般化としての双ジャコビ構造を導入し、可積分性と保存則への関連を研究すること。

提案手法

• 微分多項式代数 $\mathcal{A}$ を定義し、ジャンクティル空間構成を用いて準局所的多スカラーへ拡張する。
• 準局所的多スカラーへのシューオテン＝ニーレンハイズ括弧の一般化により、無限次元多様体上のジャコビ構造を定義する。
• スーパーマニフォールド形式を用いて一般化された括弧を実現し、幾何的演算と整合性を保つ。
• ミウラ型変換と逆変換を適用し、独立変数の変更における構造の不変性を分析する。
• リシュナーツ＝ジャコビコホモロジー複体を構築し、ジャコビ構造における変形と障害を研究する。
• 双ジャコビ構造を、相補的なジャコビ構造のペアとして導入し、可換な流れによる可積分性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてジャコビ構造を無限次元空間へ拡張し、逆変換から生じる非局所的ハミルトニアン系を記述できるか？
• RQ2 ジャンクティル空間における準局所的多スカラーに対するシューオテン＝ニーレンハイズ括弧の適切な一般化は何か？
• RQ3 空間変数を変更する逆変換において、ジャコビ構造は不変であるか。ただし保存則は保持されるものとする。
• RQ4 この無限次元設定において、リシュナーツ＝ジャコビコホモロジーはどのように計算できるか？
• RQ5 双ジャコビ構造は発展型偏微分方程式の可積分性において果たす役割は何か。また、双ハミルトニアン階層とどのように関連するか？

主な発見

• 準局所的多スカラー上の一般化されたシューオテン＝ニーレンハイズ括弧は、無限次元ジャコビ構造のための一貫性のある枠組みを提供する。
• 形 $d\tilde{x} = \rho\,dx + \sigma\,dt$, $d\tilde{t} = dt$ の逆変換において、ジャコビ構造は不変であり、非局所的ハミルトニアン性が保たれる。
• スーパーマニフォールド技法を用いることでリシュナーツ＝ジャコビコホモロジーは計算可能となり、ジャコビ構造の変形理論が可能になる。
• 双ジャコビ構造は無限個の可換な流れと保存則を導き、双ハミルトニアン系と同様に可積分性を示す。
• $x$ と $t$ を交換する逆変換は、流体型系において局所的ハミルトニアンおよび双ハミルトニアン構造を保ち、ジャコビ構造への拡張が可能である可能性を示唆する。
• この枠組みは、流体的項を有するスカラー発展型偏微分方程式に双ジャコビ構造を持つものが、ミウラ変換および逆変換の下でKdV階層と同値である可能性を示唆しているが、さらなる研究を要する。