[論文レビュー] Jacobian Newton Polyhedra and equisingularity

Bernard Teissier|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、複素超曲面特異点の新しい不変量として、$f$ と一般線形関数によって定義される写像における判別式の鎖多面体から導かれる、ヤコビアン・ニュートン多角形 $\nu_j([X_0])$ を導入する。この不変量は、同一特異点型の変形のもとで一定であり、一般の $i$-次元平面切断の全位相型を反映する強固な不変量である。

ABSTRACT

This is the LaTeX version of the handwritten notes of a lecture at the Kyoto Singularities Symposium held at the RIMS in April 1978. It presents the relationship of various invariants of isolated singularities of complex analytic hypersurfaces with the jacobian Newton polygon built from the polar curves. An appendix presents features of the semiring of Newton polygons, because the product of Jacobian Newton polygons corresponds to the Thom-Sebastiani sum of hypersurfaces. Analogies between mixed multiplicities and mixed volumes are noticed. They have been explained since.

研究の動機と目的

• 等特異型変形のもとで保存される複素超曲面特異点の不変量を定義すること。
• ニュートン多面体を用いて、古典的なミルナー数 $\mu$ をより精細な不変量へと拡張すること。
• 多重度や交点数といったさまざまな幾何的不変量を、単一のモノイド値不変量に統一すること。
• $\nu_j([X_0])$ が超曲面の一般の $i$-次元平面切断の全位相型を捉えていることを確立すること。
• ヤコビアンイデアルを介して、ニュートン多面体、判別式、等特異型を結ぶ幾何的枠組みを構築すること。

提案手法

• 写像 $p: (\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C}^{k+1},0)$ が $t = f$, $u_i = g_i$ で与えられるとき、$D \subset \mathbb{C}^{k+1}$ をその判別式とする。ここで $g_i$ は一般の線形関数である。
• $D$ の鎖多面体 $N(D)$ を、$(t, u_1, \dots, u_k)$ の座標において構成する。
• $k=1$ の場合、$\nu_j([X_0])$ を $\frac{e_q}{m_q}$ の和として表現する。ここで $e_q$ は交点多重度、$m_q$ は臨界曲線 $\partial f / \partial z_2 = \cdots = \partial f / \partial z_n = 0$ の $q$ 番目の既約成分の多重度である。
• $\nu_j([X_0]) = \nu_{j(f)}(\mathfrak{m})$ を示し、ここで $j(f)$ はヤコビアンイデアル、$\mathfrak{m}$ は極大イデアルである。
• ニュートン多面体のモノイド構造を用いて、$\nu_j([X_0])$ を座標の選び方に依存しない幾何的不変量として解釈する。
• $\nu_j([X_0])$ が、一般の $i$-次元平面切断の全位相型が保存されるとき一定であることを証明することで、等特異型変形のもとで不変であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミルナー数 $\mu$ は、高次元の余次元においても等特異型を捉えるより精細な不変量へ一般化可能か？
• RQ2 写像 $p: (\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C}^{k+1},0)$ の判別式のニュートン多面体は、超曲面の幾何的不変量をどのように符号化するか？
• RQ3 ヤコビアン・ニュートン多角形 $\nu_j([X_0])$ は、超曲面の等特異型変形のもとで不変か？
• RQ4 $\nu_j([X_0])$ と一般の $i$-次元平面切断のミルナー数の列 $\mu^{(i)}$ の関係は何か？
• RQ5 ニュートン多面体のモノイドを用いて、多重度、混合多重度、イデアルの整閉包といった不変量を統一できるか？

主な発見

• $\nu_j([X_0])$ は、写像 $p: (\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C}^2,0)$ が $t = f$, $u = z_1$ で与えられるときの判別式のニュートン多角形として定義され、$\sum \frac{e_q}{m_q}$ で与えられる。ここで $e_q$ は交点多重度、$m_q$ は臨界曲線の $q$ 番目の成分の多重度である。
• $\nu_j([X_0])$ は一般線形関数 $z_1$ の選び方に依存せず、$\nu_{j(f)}(\mathfrak{m})$ に等しいため、その内在的な性質が示される。
• $\nu_j([X_0])$ は、一般の $i$-次元平面切断の全位相型が保存される変形族において一定である。
• $\nu_j([X_0])$ の一定性は、それが等特異型のwell-definedな不変量であることを示しており、すべての一般の $i$-次元平面切断の位相型を保存する変形においても不変である。
• 全位相型が一定であるという条件は、列 $\mu^*(X_s) = (\mu^{(n)}, \dots, \mu^{(0)})$ の一定性と同値であり、これにより $\nu_j([X_s])$ の一定性が導かれる。
• この構成により、ニュートン多面体のモノイドの幾何的解釈が、交点論とイデアル論を用いてなされ、混合多重度や整閉包と結びつけられる。