[論文レビュー] Jacques Peyrière et les produits de Riesz

Jean‐Pierre Kahane|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文はジャン＝ピエール・カナンが、ジャック・ペイリエールのリース積に関する基礎的業績を包括的にレビューしたものであり、調和解析、フラクタル幾何学、シドン集合論におけるその役割に焦点を当てる。係数に関する条件下でリース積測度の相互特異性と絶対連続性を分析し、エルゴディック平均を用いて次元の上限・下限を確立し、アーベル群における極端な性質を有する準独立集合を構成するペイリエールの方法の先駆的意義を強調する。

ABSTRACT

Jacques Peyrière investigated Riesz products associated with a given set of frequencies and the corresponding coefficients : mutual singularity or absolute continuity of the measures defined by two such products, Hausdorff dimensions of the sets carrying such measures, multifractal analysis. The present expository paper starts from Peyrière's results and give some new ways to investigate the same questions. Since Riesz products are also an essential tool for Sidon sets, the characterisations of Sidon sets by Pisier and Bourgain, using quasi-independent sets, are given and commented. The paper ends with an elementary construction of a <> quasi-independent set. The paper is in French. An introduction, in English, explains why it will not be published in the book to which it was intended to contribute.

研究の動機と目的

• リース積の理論におけるジャック・ペイリエールの影響力のある貢献を、調和解析、測度論、フラクタル幾何学の分野で概説・分析すること。
• 係数の差に依存して、リース積測度 $ \mu_a $ と $ \mu_b $ が互いに特異的または絶対連続的であるための条件を確立すること。
• エルゴディック平均および対数積分を用いて、リース積の下で正の測度をもつ集合の次元の上限・下限を導出すること。
• ペイリエールの1973年および1975年の業績が、準独立集合の理論およびシドン集合論への応用の発展に果たした基盤的役割を強調すること。
• ペイリエールのアプローチの方法論的革新性と、極端な解析的・幾何的性質を有する集合を構成するという長期的影響を強調すること。

提案手法

• 周波数の間隔が $ \lambda_{j+1}/\lambda_j \geq 3 $ を満たすように選ばれた $ \lambda_j $ を用いて、$ \prod_{j=0}^\infty (1 + \operatorname{Re}(a_j e^{i\lambda_j t})) $ の形をしたリース積を分析する。
• 部分積を $ \varepsilon_j \in \{-1,0,1\} $ の和としての指数和として表現し、ギャップ条件により周波数が分離されているため、測度 $ \mu_a $ のフーリエ級数表現が得られる。
• ウィENERの基準を適用して、$ |a_j| \leq 1 $ の下で $ \mu_a $ が連続測度であることを示す。
• 関数 $ e^{i\lambda_j t} - \frac{1}{2} \overline{a}_j $ が $ L^2(\mu_a) $ 内で直交することを用いて、$ \sum |a_j - b_j|^2 = \infty $ のとき $ \mu_a \perp \mu_b $ を証明する。
• 部分積の正規化された対数積分の上極限および下極限を用いて、$ \mu_a $-正のボレル集合の次元の上限・下限を導出する。
• アーベル群における準独立集合をリース積技法を用いて構成し、特定の条件下で $ k $-球内に $ \gg k \log k $ 個の点を含むことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数 $ a_j $ と $ b_j $ にどのような条件下で、二つのリース積測度 $ \mu_a $ と $ \mu_b $ が互いに特異的となるか？
• RQ2 二つのリース積測度 $ \mu_a $ と $ \mu_b $ が互いに絶対連続的であるのはどのような場合か、特に $ \sum |a_j - b_j|^2 / (1 - |a_j|) < \infty $ のとき？
• RQ3 ボレル集合 $ E $ で $ \mu_a(E) > 0 $ を満たすものの、ハウスドルフ次元の上限・下限は、部分積の対数積分の表現でどのように記述できるか？
• RQ4 アーベル群において、$ k $-球内に $ \gg k \log k $ 個の点を含む準独立集合を構成できるか。また、そのような構成が可能な群の条件は何か？
• RQ5 ペイリエールの初期の業績（1973年、1975年）は、現代の準独立集合およびシドン集合論の理論にどのように基盤を築いたか？

主な発見

• もし $ \sum |a_j - b_j|^2 = \infty $ ならば、$ \mu_a \perp \mu_b $ であり、測度は互いに特異的である。
• もし $ \sum |a_j - b_j|^2 / (1 - |a_j|) < \infty $ ならば、$ \mu_a \sim \mu_b $ であり、測度は互いに絶対連続的である。
• 任意のボレル集合 $ E $ で $ \mu_a(E) > 0 $ を満たすものについて、次のようにハウスドルフ次元の上限・下限が成り立つ： $$ 1 - \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{\log \lambda_n} \int \log P_{a,n}(t) \, d\mu_a(t) \leq \dim E \leq 1 - \liminf_{n \to \infty} \frac{1}{\log \lambda_n} \int \log P_{a,n}(t) \, d\mu_a(t) $$
• もし $ \lambda_j = 2^j $ ならば、$ \sup |a_j| < 1 $ の下でリース積測度 $ \mu_a $ は適切に定義され、$ a_j $ と $ b_j $ の両方について同じ条件下で特異性の結果が成り立つ。
• ある $ k $-球 $ M $ に対して $ |\Lambda \cap M| \gg k \log_2 k $ を満たすような準独立集合 $ \Lambda $ を、群に任意の大きな位数の元が存在する場合に構成可能である。
• 群 $ \prod_{j=1}^\infty (\mathbb{Z}/p_j\mathbb{Z}) $ で $ p_j $ が有界な場合、構成は失敗し、ピエシーの非構成的結果により、交差は高々 $ O(k) $ 個に制限される。