[論文レビュー] Jarzynski Relations for Quantum Systems and Some Applications

Hal Tasaki|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2000

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 11被引用数 90

ひとこと要約

この論文は、時間に依存するハミルトニアンをもつ閉じた量子系に対して、ジャルジンスキーの非平衡仕事関係の量子版を導出し、非平衡での仕事の揺らぎと平衡状態における自由エネルギーの差の間の正確な等式関係を確立する。これらの関係を用いて、異なる温度にある2つの系間の熱伝導を含む複合量子系における全エントロピーの単調増加を厳密に証明し、このような状況下でのエントロピー生成に関する量子フラクチュエーション定理を導出する。

ABSTRACT

We derive quantum analogues of Jarzynski's relations, and discuss two applications, namely, a derivation of the law of entropy increase for general compound systems, and a preliminary analysis of heat transfer between two quantum systems at different temperatures. We believe that the derivation of the law of entropy increase is new and of importance.

研究の動機と目的

• 時間に依存するハミルトニアンをもつ量子系へ、ジャルジンスキーの古典的非平衡仕事関係を拡張すること。
• 一般の量子複合系に対して、第二法則（具体的にはエントロピーの単調増加）を厳密に導出すること。
• 異なる温度にある2つの量子系間の熱伝導を、量子ジャルジンスキー関係を用いて分析すること。
• 非平衡量子過程におけるエントロピー生成に関する量子フラクチュエーション定理を確立すること。

提案手法

• 時間発展演算子 $ U $ と初期および最終のエネルギー固有状態の平均を用いて、ジャルジンスキー等式の量子版を導出する。
• 初期のギブス状態の分布と遷移振幅 $ |\langle \varphi'_j | U | \varphi_i \rangle |^2 $ を組み合わせた確率分布 $ p_{i,j} $ を導入し、正規化を保証する。
• 量子ジャルジンスキー等式にジェンセンの不等式を適用することで、自由エネルギーの変化の上限が得られ、第二法則が導かれる。
• 初期に異なる温度で熱平衡にある2つの弱く結合した量子系を想定し、結合密度行列 $ \rho_{\text{init}} $ を定義する。
• 時間に依存するエントロピー増加量 $ \Delta S(t) $ を、逆温度で重み付けられたエネルギー変化の和として定義し、ジャルジンスキー等式を用いてその非負性を示す。
• エントロピー生成の確率分布 $ P_t(s) $ を定義し、時間反転対称性のもとで $ e^{-s} P_t(s) = P_t(-s) $ を証明することで、フラクチュエーション定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存するハミルトニアンをもつ一般の量子系へ、ジャルジンスキーの非平衡仕事関係を拡張できるか？
• RQ2 量子ジャルジンスキー関係は、複合量子系における第二法則（具体的にはエントロピーの単調増加）を示唆するか？
• RQ3 異なる温度にある2つの量子系間の熱の流れの方向を、量子非平衡関係から厳密に導出できるか？
• RQ4 非平衡状態に駆動される量子系におけるエントロピー生成のフラクチュエーション定理の形は何か？
• RQ5 関数 $ d(x) = e^{-x} - 1 + x $ の構造を用いて、エントロピー増加を下から有界化できるか？

主な発見

• 任意の時間に依存するハミルトニアンに対して、量子ジャルジンスキー等式 $ \left\langle e^{\beta E - \tilde{\beta} E'} \right\rangle = \frac{Z'(\tilde{\beta})}{Z(\beta)} $ が正確に成立し、非平衡での仕事と平衡状態における自由エネルギーの差を結びつける。
• 不等式 $ \beta \langle H \rangle_{\text{init}} - \tilde{\beta} \langle H' \rangle_{\text{fin}} \leq \log Z'(\tilde{\beta}) - \log Z(\beta) $ は、エントロピー増加の形で第二法則を示唆する。
• 異なる温度にある2つの弱く結合した量子系に対して、ジャルジンスキー関係とジェンセンの不等式を用いて、エントロピー増加 $ \Delta S(t) \geq 0 $ が厳密に証明される。
• エントロピー増加 $ \Delta S(t) $ は、非負の項の和 $ \sum p_{i,j,\ell,m}(t) \, d(s) $ として表現され、ここで $ d(s) = e^{-s} - 1 + s \geq 0 $ であるため、熱流量の厳密な下界が得られる。
• 量子フラクチュエーション定理 $ e^{-s} P_t(s) = P_t(-s) $ が導出され、逆方向のエントロピー生成が指数的にまれであることが示される。
• 導出は技術的に自己完結的であり、非可換性の仮定なしに一般の有限次元量子系に適用可能である。