[論文レビュー] Jaynes-Cummings model without rotating wave approximation. Asymptotics of eigenvalues

É. A. Tur|ArXiv.org|Nov 22, 2002

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、回転波近似（RWA）を用いないJaynes-Cummingsモデルを解析するため、原子遷移周波数ω₀を小さなパラメータとする摂動理論を展開する。高量子数における固有値の正確な漸近的挙動を導出し、反転項が漸近展開の2次項を変化させることを示している。これは、RWAの予測とは対照的に、大きなnにおいてスプリングが消えることを示している。

ABSTRACT

In this paper the perturbation theory with the frequency of transition in atom as perturbation parameter is constructed. The estimation of the reminder term of series of this perturbation theory is given. With the help of this perturbation theory we have found an exact asymptotics of eigenvalues of complete hamiltonian in the limit of high quantum numbers. It is shown that the counter-rotating terms keep a leading term but absolutely change a second term of this asymptotic.

研究の動機と目的

• 回転波近似（RWA）を用いないJaynes-Cummingsハミルトニアンを、特に高量子数の領域で解析すること。
• 高エネルギー場においてRWAが破綻する理由を解明し、反転項が顕著になる状況を扱うこと。
• g/ωが小さいとは限らない状況でも有効な、ω₀を小さなパラメータとする摂動理論を構築すること。
• 高量子数における固有値の漸近展開を導出し、RWAの予測と比較すること。
• 摂動級数の剰余項を推定し、収束条件を確立すること。

提案手法

• ハミルトニアンを無限のジャコビ行列H₁およびH₂で表される2つの不変部分空間に分解する。
• H = A₀ + ω₀P₁およびH = A₀ + ω₀P₂の形に表現する。ここでA₀はシフトされた調和振動子ハミルトニアンであり、P₁, P₂は対角射影子である。
• ボゴリューボフ変換を用いてA₀を対角化し、固有値λₘ = ω₀ + mω − g²/ωおよび一般化ラゲル多項式で表される固有ベクトルを得る。
• ω₀のべき級数としての摂動理論を適用し、再帰的トレース公式を用いて固有値補正を計算する。
• 線分積分表現と行列要素の評価を用いて、級数の剰余項を推定する。
• ω₀ ≤ ω√3/(2π)の範囲で摂動級数が収束し、剰余項が幾何級数に類似した形で有界であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回転波近似を用いない場合、Jaynes-Cummingsハミルトニアンの固有値は、高量子数の極限でどのように振る舞うか？
• RQ2 反転項は、RWAと比較して固有値の漸近展開をどのように変化させるか？
• RQ3 g/ωが小さいとは限らない状況において、ω₀を小さなパラメータとする摂動理論が高エネルギー固有状態を記述できるか？
• RQ4 この枠組みにおける摂動級数の収束性と剰余項の推定はどのように行われるか？
• RQ5 非RWA領域において、高量子数における準位スプリングはRWAの予測と比べてどのように変化するか？

主な発見

• m → ∞のとき、固有値の主要項の漸近的挙動はλₘ ∼ mω + 3ω₀/2 − g²/ωであり、部分空間（H₁またはH₂）に依存しない。
• 2次補正項はRWAとは本質的に異なる：それは√mに比例して増大するのではなく、定数に近づく。
• 隣接する準位間のスプリングΔₘ = λ₂ₘ₊₂ − λ₂ₘ₊₁はm → ∞のときωに近づくため、上限に達する（無限に増大しない）ことが示唆される。
• 摂動級数はω₀ ≤ ω√3/(2π) ≈ 0.23ωの範囲で収束し、剰余項は幾何級数に類似した形で有界である。
• 数値的証拠から、漸近公式は厳密な収束境界を越えてさえも有効である可能性が示唆される。
• 反転項は主要項を保存するが、2次項を本質的に変化させ、RWAとは本質的に異なる高n領域の挙動をもたらす。