[論文レビュー] Jensen's Inequality and majorization

Jorge Antezana, Pedro Massey+1 more|ArXiv.org|Nov 19, 2004

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、正のユニタル写像を用いて、$C^*$-代数における凸関数に対する非可換なジェンセン型不等式を確立し、スペクトル順序および主要化を用いて、作用素凸性を超えた古典的不等式を拡張する。任意の凸関数に対して、代数的制約に応じて、主に主要化またはスペクトル順序の下で $f(\phi(a)) \prec \phi(f(a))$ が成り立つことを証明し、アンドウの定理を一般化するとともに、非可換解析における結果を統一する。

ABSTRACT

Let $\mathcal{A}$ be a $C^*$-algebra and $ϕ:\cA o L(H)$ be a positive unital map. Then, for a convex function $f:I o \mathbb{R}$ defined on some open interval and a self-adjoint element $a\in \mathcal{A}$ whose spectrum lies in $I$, we obtain a Jensen's-type inequality $f(ϕ(a)) \leq ϕ(f(a))$ where $\le$ denotes an operator preorder (usual order, spectral preorder, majorization) and depends on the class of convex functions considered i.e., operator convex, monotone convex and arbitrary convex functions. Some extensions of Jensen's-type inequalities to the multi-variable case are considered.

研究の動機と目的

• 標準的順序 $\leq$ の代わりに代替的演算子順序としてのスペクトル順序および主要化を用いることで、非可換設定における作用素凸関数を超える任意の凸関数に対するジェンセンの不等式を一般化すること。
• スペクトル順序または主要化の下で、任意の凸関数に対して $f(\phi(a)) \leq \phi(f(a))$ が成り立つ条件を確立すること。
• 正のユニタル写像および非可換積分を用いて、ブラウン＝コサキおよびハンセン＝ペダーセンの先行結果を統合・拡張すること。
• オウフラおよびシルバの有限次元不等式を、主要化およびスペクトル順序を用いて無限次元 $C^*$-代数へ一般化すること。
• 情報、リャプノフ、およびホルダーの不等式などの古典的不等式の非可換版を、これらの関数不等式から導出すること。

提案手法

• 非可換積分の類似物として、正のユニタル写像 $\phi: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ を用いる。
• 標準的順序 $\leq$ の代わりに、スペクトル順序 $\prec$ および主要化 $\prec\succ$ を代替的演算子順序として適用する。
• 条件付き期待値の理論およびスティンスプリングの拡張を用いて、$f$ と $g$ の合成関数に対する不等式を拡張する。
• $C^*$-代数における関数計算および作用素凸/凹関数の性質を用いて不等式を導出する。
• 局所コンパクト空間上の作用素値関数に対するボッハナー積分を用いて、非可換期待値を定義する。
• 関数計算および正値性の議論を用いて、多変数ケースを単一変数不等式に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的演算子順序が成立しない状況において、ジェンセン型不等式を任意の凸関数へ拡張することは可能か？
• RQ2 スペクトル順序または主要化の下で、$f(\phi(a)) \prec \phi(f(a))$ が成り立つ条件は何か？
• RQ3 本研究の結果は、オウフラおよびシルバの有限次元不等式を $C^*$-代数へどのように一般化するか？
• RQ4 これらの関数不等式から、非可換版の情報、リャプノフ、およびホルダーの不等式を導出できるか？
• RQ5 条件付き期待値および可換性の仮定は、作用素凸性を超えるジェンセンの不等式の拡張において、どのように機能するか？

主な発見

• 単調な凸関数 $f$ および $\mathcal{B}$ がフォン・ノイマン代数であるとき、スペクトル順序の下で $f(\phi(a)) \prec \phi(f(a))$ が成り立つ。
• $\mathcal{B}$ が可換、または $\phi(a)$ と $\phi(f(a))$ が可換である場合、標準的順序の下で $f(\phi(a)) \leq \phi(f(a))$ が成り立つ。
• 条件付き期待値 $E: \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ が $\phi(a)$ を $E$ の中心化子に含むとき、連続的増加凸関数 $g$ に対して $\mathcal{E}(g[f(\phi(a))]) \leq \mathcal{E}(g[\phi(f(a))])$ が成り立つ。
• $\mathcal{B}$ が有限因子であるとき、任意の凸関数 $f$ に対して、主要化の下で $f(\phi(a)) \prec\succ \phi(f(a))$ が成り立つ。
• 非可換情報不等式が証明された：密度関数 $a,b$ に対して $\int_X a^* \log(a^{*-1} b^* b a^{-1}) a \, d\mu \leq 0$ が成り立つ。
• 非可換リャプノフ不等式が確立された：$1 \leq r \leq s$ および収縮的正の $\phi$ に対して $\phi(a^s)^{1/s} \geq \phi(a^r)^{1/r}$ が成り立つ。