[論文レビュー] JET BUNDLES ON PROJECTIVE SPACE: NEW EXAMPLES

Helge Øystein Maakestad|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、任意の次元における射影空間上での、左および右の O-加群構造が同型でない最初の既知のジェット bundle の例を、Pⁿ 上の1階主部分層 J¹(O(l)) を用いて構成する。主な結果は、これらの構造が異なるものの、それらが代数的 K-理論において等価であるということであり、これは一般化されたアティヤ類によって検出される。本研究は、アティヤ系列およびアティヤ類を任意の環付き位相空間へと拡張し、これらの条件下でジェット bundle の K-理論的不変性を証明する。

ABSTRACT

In previous papers it was shown that the left and right O-module structure of the jet bundles on the projective line differed. In this paper we show that similar statements hold for jet bundles on projective space in any dimension. We also consider some classes associated to jet bundles in the algebraic K-theory of projective space.

研究の動機と目的

• 射影空間において次元 >1 の場合に、左および右の O-加群構造が同型でない最初のジェット bundle の構成。
• 任意の環付き位相空間へとアティヤ系列およびアティヤ類を一般化すること。
• これらの非同型なジェット bundle の代数的 K-理論における同値類が等しいことを証明すること。
• 滑らかスキームの古典的設定を超えて、ジェット bundle 及び特徴類の理論を拡張すること。

提案手法

• 任意の環付き位相空間 (X, O) における導分 d: O → I に対して、I を左および右の O-加群としてアーベル化した一般化されたアティヤ系列を定義する。
• 公式 (2.1.1) および (2.1.2) を用いて、明示的な左および右の O-加群構造を持つ1階ジェット bundle J(E) = I ⊗O E ⊕ E を構成する。
• 一般化されたアティヤ系列が右分解可能であることを証明し、一般化されたアティヤ類が消えることと、左および右の構造が同型であることとは同値であることを示す。
• 射影バンドル公式を用いて、グロテンディーク群 K(Pⁿ) を計算し、クラス t = 1 - [O(-1)] を用いて Z{1, t, ..., tⁿ⁻¹} に同型化する。
• K-理論の同型を適用して、任意の k ≥ 1 および局所自由な E に対して、K(X) 内で [Jᵏ(E)left] = [Jᵏ(E)right] が成り立つことを示す。これは帰納法と Symᵏ(Ω¹_X/S) ⊗ E のアーベル化性質を用いる。
• 線分束 O(l) の Pⁿ 上で、J¹(O(l)) の左および右の構造が非同型であるが、K-理論的同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元が1より大きい射影空間上での、ジェット bundle の左および右の O-加群構造が非同型となる例を構成することは可能か？
• RQ2 一般化されたアティヤ類は、ジェット bundle の左および右加群構造の非同型性を検出する上で果たす役割は何か？
• RQ3 このような非同型なジェット bundle の同値類は、代数的 K-理論において等しいか？
• RQ4 アティヤ系列およびアティヤ類は、任意の環付き位相空間へとどのように一般化できるか？
• RQ5 基底スキームが微分的滑らかでない場合に、ジェット bundle の K-理論的不変性は成立するか？

主な発見

• 本稿は、n ≥ 2 の任意の n に対して、Pⁿ 上の J¹(O(l)) の左および右の O-加群構造が非同型である明示的なジェット bundle の例を構成し、長年の未解決問題を解決する。
• 任意の n ≥ 1 に対して、Pⁿ 上の J¹(O(l)) における一般化されたアティヤ系列は右分解可能であるが、一般化されたアティヤ類が非ゼロであるため、左および右の O-加群構造は同型でない。
• J¹(O(l)) を左 O-加群および右 O-加群として見たときの同値類は、グロテンディーク群 K(Pⁿ) 内で等しい。これは射影バンドル公式および K-理論の同型を用いて証明される。
• 一般化されたアティヤ類 a(E) ∈ Ext¹(O, Ω¹ ⊗ E) がゼロであることと、J(E) の左および右の O-加群構造が同型であることとは同値であり、これはコhomologicalな障害を提供する。
• 任意の k ≥ 1 および微分的滑らかな X/S 上の局所自由な E に対して、K-理論的同値類 [Jᵏ(E)left] および [Jᵏ(E)right] は等しい。これは Symᵏ(Ω¹) ⊗ E のアーベル化性質による。
• P¹ 上の線分束 O(l) の場合、一般化されたアティヤ類 a(O(l)) は H¹(P¹, Ω¹) 内の第1チャーン類 c₁(O(l)) に対応し、a(O(l)) = 0 であることと、左および右の構造が同型であることとは同値である。