[論文レビュー] Jets via Hasse-Schmidt Derivations

Paul Vojta|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 52

ひとこと要約

本稿は、ハッセ＝シュマイドの高階微分を用いてスキーム上のジャンクツを定義するための新しい代数的枠組みを導入し、滑らかでない、任意の特異点、任意の特徴的零でないスキームへと古典的ジャンクツ理論を一般化する。主な貢献は、$Y$ 上の $\operatorname{Spec} R[[t]]/(t^{m+1}) \to X$ の切り詰め弧を分類する、$\operatorname{HS}^{m}_{X/Y}$ と呼ばれる階数付き層の代数の構成であり、代数幾何学におけるジャンクツ空間を統一し、相対的および対数的ジャンクツ構成を可能にする。

ABSTRACT

This note is intended to provide a general reference for jet spaces and jet differentials, valid in maximal generality (at the level of EGA). The approach is rather concrete, using Hasse-Schmidt (divided) higher differentials. Discussion of projectivized jet spaces (as in Green and Griffiths (1980)) is included.

研究の動機と目的

• 滑らかでない、特徴的零でないスキームに限らない古典的ジャンクツ理論を、任意のスキーム、特異点、任意の特徴的零の状況へ一般化すること。
• ハッセ＝シュマイドの高階微分を用いた一様な代数的構成により、ジャンクツ空間を微分形式に代えて再構築すること。
• スキームの相対的準同型 $X \to Y$ に対するジャンクツ空間形式を拡張し、切り詰めディスクからの準同型としてのファンクター的記述を可能にすること。
• 対数的ジャンクツ空間の今後の研究の基盤を築くために、$\operatorname{HS}^{m}_{X/Y}(\log D)$ の概念的枠組みを導入すること。
• ジャンクツ代数 $\operatorname{HS}^{m}_{B/A}$ がエタール局所化に関して保存されることを確立し、スキーム上の層へのグローバルな貼り合わせを保証すること。

提案手法

• リーマン型の恒等式を満たす $A$-線形写像の列 $(D_0, \dots, D_m)$ として高階微分を定義し、微分を高階に一般化する。
• 変数 $x^{(i)}$（$x \in B$）の多項式代数の商として代数 $\operatorname{HS}^{m}_{B/A}$ を構成し、リーマン則と加法性を反映する関係を課す。
• $\operatorname{HS}^{m}_{B/A}$ が普遍性を満たすことを示す：これは $B$ から $A$ 上の $R$ への高階微分の関手をコリプレセントする。
• $\operatorname{HS}^{m}_{B/A}$ がエタール基底変換に関して保存されることを証明し、スキーム $X$ over $Y$ 上に層 $\operatorname{HS}^{m}_{X/Y}$ を構成可能であることを示す。
• 相対的ジャンクツ空間 $J_m(X/Y)$ を相対スペクトル $\operatorname{Spec} \operatorname{HS}^{m}_{X/Y}$ として定義し、関手 $Z \mapsto \operatorname{Hom}_Y(Z[[t]]/(t^{m+1}), X)$ を表す。
• プロジェクト型ジャンクツ空間を $\operatorname{Proj} \operatorname{HS}^{m}_{X/Y}$ を用いて拡張し、グリーン＝グリフィスおよびセムプル＝デメールリの構成と整合させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさや特徴的零の仮定に依存せずに、任意の特徴的零（混合や正の特徴的零を含む）でジャンクツ空間を定義する方法は何か？
• RQ2 ハッセ＝シュマイド微分を用いて、対称代数の微分形式による古典的ジャンクツ構成を高階のジャンクツを一様に扱える形に一般化できるか？
• RQ3 任意のスキーム、特異的・滑らかでない場合を含めて、ジャンクツ空間をファンクター的かつ層論的に行えるようにするにはどうすればよいか？
• RQ4 高階のジャンクツ理論において、$\bigoplus_{d\geq 0} S^d \Omega_{B/A}$ の代わりに正しい代数的構造は何か？
• RQ5 ハッセ＝シュマイド枠組みと整合する形で、対数的ジャンクツ空間をどのように構成できるか？

主な発見

• 代数 $\operatorname{HS}^{m}_{B/A}$ は、$m$ 階の高階微分の関手をコリプレセントする、$B$-代数の階数付き代数であり、ジャンクツ代数の普遍的性質を一般化する。
• $\operatorname{HS}^{m}_{B/A}$ がエタール基底変換に関して保存されることを踏まえ、$X$ 上に層 $\operatorname{HS}^{m}_{X/Y}$ をエタール降下により構成可能である。
• 相対的ジャンクツ空間 $J_m(X/Y)$ は $\operatorname{Spec} \operatorname{HS}^{m}_{X/Y}$ に同型であり、$Y$-スキーム $Z$ に対して関手 $Z \mapsto \operatorname{Hom}_Y(Z[[t]]/(t^{m+1}), X)$ を表す。
• $m > 0$ のとき、射影化ジャンクツ空間 $\operatorname{Proj} \operatorname{HS}^{m}_{X/Y}$ は $\mathbb{G}_m$-商を用いてグリーン＝グリフィスおよびセムプル＝デメールリの構成を回復する。
• この枠組みは自然に対数的ジャンクツ空間へ拡張可能であるが、完全な構成は今後の研究に延期され、$D$ が正規交叉除数であるとき、層 $\operatorname{HS}^{m}_{X/Y}(\log D)$ はエタール層であると予想される。
• 完成化およびヘンゼル化と整合する。$\widehat{A^\text{h}} = \widehat{A}$ および $\sqrt{IA^\text{h}} = \sqrt{I}A^\text{h}$ が成り立つことから、形式的近傍と整合することが保証される。