[論文レビュー] Jitter in Dynamical Systems with Intersecting Discontinuity Surfaces

Mike R. Jeffrey, Georgios Kafanas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2016

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、複数の交差する不連続性面を持つ分(piecewise-smooth)力学系におけるジッタ（不規則で感度の高いスイッチングダイナミクス）を調査する。著者らは、ヒステリシス、時間遅れ、離散化といった摂動を分析することで、スライディング運動がベクトル場の変化に対して極めて感度を示し、複雑な吸引子とカオス的挙動を引き起こすことを示した。零摂動極限において、スライディング解は、標準的なフィリッポフ解やカンエイ解から著しく逸脱する。

ABSTRACT

Mathematical models involving switches --- in the form of differential equations with discontinuities --- can accomodate real-world non-idealities through perturbations by hysteresis, time-delay, discretization, and noise. These are used to model the processes associated with switching in electronic control, mechanical contact, predator-prey preferences, and genetic or cellular regulation. The effect of such perturbations on rapid switching dynamics about a single switch are somewhat benign: in the limit that the size of the perturbation goes to zero the dynamics is given by Filippov's sliding solution. When multiple switches are involved, however, perturbations can have complicated effects, as shown in this paper. In the zero-perturbation limit, hysteresis, time-delay, and discretization cause erratic variation or `jitter' for stable sliding motion, whilst noise generates a relatively regular sliding solution similar to the canopy solution (an extension of Filippov's solution to multiple switches). We illustrate the results with a model of a switched power circuit, and showcase a variety of complex phenomena that perturbations can generate, including chaotic dynamics, exit selection, and coexisting sliding solutions.

研究の動機と目的

• 複数の不連続性面が交差する状況における、スライディング運動のロバスト性を理解すること。
• 非理想なスイッチングメカニズム（ヒステリシス、時間遅れ、離散化）が、フィリッポフの理想化された解と比較してスライディングダイナミクスに与える影響を調査すること。
• 交差するスイッチを持つ系において、摂動下でジッタとカオス的挙動がどのように生じるかを説明すること。
• 摂動（例：ヒステリシス）によって生じる吸引子が、ベクトル場のみから予測可能でないことを示すこと。吸引子はスイッチングメカニズムのダイナミクスに依存する。
• 特にヒステリシスや離散化の下で、スライディング速度と軌道がカンエイ解から著しく逸脱することを示すこと。

提案手法

• 不連続性面 Σ₁,…,Σₘ 上に不連続性を持つ分(piecewise-smooth)常微分方程式モデルを用い、各 2^m 領域でベクトル場 f(x) が滑らかであることを仮定する。
• 滑らか化（シグモイド的遷移）、ヒステリシス（幅 ε の二安定スイッチング）、時間遅れ、離散化といった摂動を導入し、系を正則化する。
• フィリッポフの凸結合に依存せず、摂動の大きさ ε → 0 の極限としてスライディング運動を定義する。
• ヒステリシスの下で得られるダイナミクスを円写像（circle map）を用いて分析し、スイッチング乗数 λ が1次元写像上で分岐を示すことを示す。
• 摂動付きスライディング解を、理想化されたフィリッポフ解およびカンエイ解（ベクトル場の凸包）と比較する。
• スイッチング電力回路モデルを用いた数値シミュレーションにより、ジッタ、吸引子構造、スイッチング周波数を可視化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒステリシスや時間遅れは、複数の不連続性面の交差に沿ったスライディング運動の安定性と構造にどのように影響するか？
• RQ2 ヒステリシスなどの摂動下でのスライディング解が、標準的なフィリッポフ解やカンエイ解から逸脱する理由は何か？
• RQ3 スライディングベクトル場における「ジッタ」は何かを引き起こし、スイッチングダイナミクスの分岐とどのように関係しているか？
• RQ4 ヒステリシスによる摂動付き系の吸引子は、有効なスライディング速度と軌道にどのように影響するか？
• RQ5 スライディングダイナミクスは、ベクトル場のみから予測可能か。それとも、スイッチングメカニズム自体が挙動を支配するのか？

主な発見

• ジッタは、複数のスイッチが交差する際、スライディング解がベクトル場の微小変化に極めて感度を示すことに起因する。
• ヒステリシスの下では、系はスイッチング乗数 λᵢ を決定する吸引子へ進化するが、その λᵢ はカンエイ解やフィリッポフ解とは一致しない。
• ヒステリシスの場合の吸引子は、連続的かつ区分的微分可能である円写像の解であり、パラメータの変化に伴い分岐を示す。
• 数値シミュレーションにより、ε = √2/10³ のとき、スライディング速度が ε → 0 の極限とよく一致することが示され、理想化された吸引子への収束が確認された。
• 系はカオス的ダイナミクスとエグジット選択を示し、スイッチング周波数は 5 kHz から 25 kHz の範囲にあり、実際の電子スイッチの範囲内であった。
• シミュレートされた軌道はカンエイ解から著しく逸脱し、凸包の広い範囲を探索しており、吸引子が有効なダイナミクスを支配していることを確認した。