[論文レビュー] Join-semidistributive lattices of relatively convex sets

Kira Adaricheva|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、X が線分の有限和であるとき、ℝⁿ 内の相対的凸集合の格子が結合準分配的であるための2つの十分条件を確立する。さらに、任意の有限下有界格子が、幾何的構成を用いてこのような格子へ埋め込まれることを証明し、有限点集合上の凸幾何構造への有限格子の埋め込みについて、新たなアプローチを提供する。

ABSTRACT

We give two sufficient conditions for the lattice Co(R^n,X) of relatively convex sets of n-dimensional real space R^n to be join-semidistributive, where X is a finite union of segments. We also prove that every finite lower bounded lattice can be embedded into Co(R^n,X), for a suitable finite subset X of R^n.

研究の動機と目的

• X が線分の有限和であるとき、ℝⁿ 内の相対的凸集合の格子が結合準分配的である条件を調査すること。
• X に対する有限性の要件を排除しつつ、結合準分配的性質を保ちながら、[2] の問題3を一般化すること。
• すべての有限下有界格子を、ℝⁿ 内の相対的凸集合の有限格子へ埋め込むための幾何的構成を提供すること。
• 凸包と極点を用いた新しい証明を通じて、有限下有界格子が凸幾何構造へ埋め込まれることを示すこと。

提案手法

• {1, ..., n+1} の部分集合に関連する凸多面体の極点の集合を用いて、ℝⁿ 内の有限集合 X を構成する。
• ブール格子 B_{n+1} の交わり部分半束の格子から、ℝⁿ の有界凸部分集合の格子への写像 φ を定義する。
• 点 p(i, A) の凸包と特別な頂点 v を用いた幾何的構成により、集合 X を定義し、埋め込みが交わりと結合を保つことを保証する。
• 結合的生成元における D-サイクルを含まないことを示すことで、得られた格子 Co(ℝⁿ, X) が下有界であることを証明する。
• φ と Co(ℝⁿ, X) への包含写像の合成が、交わりと結合を保つことの検証により、格子埋め込みが得られることを確認する。
• 有限下有界格子が Sub_∧B_{n+1} に埋め込まれることを用い、幾何的構成によりこの埋め込みを Co(ℝⁿ, X) へ上昇させることを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X が線分の有限和であるとき、X に対する Co(ℝⁿ, X) が結合準分配的である条件は何か？
• RQ2 任意の有限下有界格子は、ある有限 X ⊆ ℝⁿ に対して Co(ℝⁿ, X) の形の格子に埋め込めるか？
• RQ3 多面体の極点を用いた X の幾何的構成は、交わりと結合を両方保つ格子埋め込みをもたらすか？
• RQ4 Co(ℝⁿ, X) に D-サイクルが存在しないことは、格子の下有界性とどのように関係するか？
• RQ5 頂点 v と点 p(i, A) は、埋め込みにおける結合保存性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• X が線分の有限和であるとき、Co(ℝⁿ, X) が結合準分配的であるための2つの十分条件が確立された。
• X が {1, ..., n+1} の部分集合に関連する多面体の極点と中心の頂点 v から構成されるとき、格子 Co(ℝⁿ, X) が下有界であることが示された。
• すべての有限下有界格子は、凸包と極点に基づく幾何的構成により、ある有限 X ⊆ ℝⁿ に対して Co(ℝⁿ, X) に埋め込まれる。
• 写像 φ と Co(ℝⁿ, X) への包含写像の合成は、交わりと結合を両方保つ格子埋め込みをもたらす。
• 構成により、結合的生成元における D-サイクルが回避され、Co(ℝⁿ, X) が下有界であることが確認された。
• 本結果は、有限格子が凸幾何構造へ埋め込まれることに関する新しい幾何的視点を提供し、[4] や [10] の先行結果を補完する。