[論文レビュー] Joint Limiting Distribution of Minima and Maxima of Complete and Incomplete Samples of Stationary Sequences

Enkelejd Hashorva, Zhichao Weng|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、定常逐次列からの完全および不完全サンプルにおける最大値と最小値の同時弱収束を確立し、観測データの割合が確率的に確率変数に収束する場合にまで、先行研究を拡張している。主な発見は、不完全性の割合が決定論的である場合にのみ、最大値と最小値の漸近的独立性が成立する。そうでない場合、確率的サンプリングの不確実性により依存性が生じる。

ABSTRACT

In the seminal contribution [4] the joint weak convergence of maxima and minima of weakly dependent stationary sequences is derived under some mild asymptotic conditions. In this paper we address additionally the case of incomplete samples assuming that the average proportion of incompleteness converges in probability to some random variable. We show the joint weak convergence of the maxima and minima of both complete and incomplete samples. It turns out that for special cases, maxima and minima are asymptotically independent.

研究の動機と目的

• 定常逐次列の不完全サンプルに対する最大値と最小値の同時弱収束理論を拡張すること。
• 観測データの割合が非退化確率変数に確率的に収束するような、確率的不完全性の影響が極限における同時分布に与える影響を調査すること。
• データ不完全性が存在する中でも、最大値と最小値が漸近的に独立である条件を特定すること。
• 観測データの割合が決定論的であると仮定した先行研究を、より現実的な確率的不完全性のケースに一般化すること。

提案手法

• 著者らは、Davis (1987) が提示した Berman 条件および弱依存条件（条件 D および D'）を採用し、定常逐次列における極値的依存を制御する。
• 最大値と最小値の正規化には、一般化極値分布の極限に一致するように、$ a_n, b_n $ を最大値、$ c_n, d_n $ を最小値に用いる。
• 不完全サンプリングは、指示変数 $ \varepsilon_i $ を用いてモデル化され、$ S_n/n \to \mathcal{P} $ が確率的に成り立つ。ここで $ \mathcal{P} $ は確率変数である。
• 重要な技術的ステップとして、標本をブロックに分割し、最大値と最小値の同時裾確率を制御するためのポアソン近似を用いる。
• 証明では、Ky Fan 距離と集中不等式を用いて、観測値の実現割合における乖離をバインドする。
• 極限における同時分布は、確率的割合 $ \mathcal{P} $ における期待値として導出され、最大値については $ \mathbb{E}\left[ G^{\mathcal{P}}(x) G^{1-\mathcal{P}}(y) \right] $ と表され、最小値についても同様の形をとる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常逐次列の不完全サンプルからの最大値と最小値の同時極限分布が弱収束する条件は何か？
• RQ2 観測データの割合が非退化確率変数である場合、最大値と最小値の間の漸近的依存構造は、定数である場合とどのように異なるか？
• RQ3 最大値と最小値の同時極限分布が、確率的不完全性割合 $ \mathcal{P} $ における期待値として表現可能か？ これは、$ \mathcal{P} $ が決定論的である場合の先行結果を拡張するものか？
• RQ4 不完全性が確率的である場合、最大値と最小値の間の漸近的独立性は保持されるか、それとも破綻するか？
• RQ5 確率的不完全性が、定常逐次列の極値的挙動に及ぼす影響は何か？

主な発見

• 弱依存性と確率的不完全性のもとで、完全および不完全サンプルからの正規化された最大値と最小値の同時極限分布は、弱収束する。
• 不完全性の割合 $ \mathcal{P} $ が決定論的定数である場合、最大値と最小値は漸近的に独立である。
• もし $ \mathcal{P} $ が非退化確率変数であるならば、最大値と最小値の間の漸近的独立性は成立せず、その同時分布は $ \mathcal{P} $ の分布に依存する。
• 極限における同時分布は、$ \mathbb{E}\left[ G^{\mathcal{P}}(x) G^{1-\mathcal{P}}(y) \right] $ として表され、これはサンプリングプロセスの確率的性質を反映している。
• 証明はブロック分割、ポアソン近似、および Ky Fan 距離による制御を用い、標本サイズが増加するに従い誤差項が消えることを示した。
• 本結果は、[6] や [9] が仮定した決定論的 $ \mathcal{P} $ の場合を一般化し、不完全データのより現実的なモデルを提供する。