[論文レビュー] Joint numerical radius of spherical Aluthge transforms of tuples of Hilbert space operators

Kais Feki, Takeaki Yamazaki|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間上の作用素の d-重み付き組み合わせに対して球面的アラウジェ変換を導入し、変換された組み合わせの連合数値半径と連合作用素ノルムの間の鋭い不等式を確立する。本稿は、作用素の d-重み付き組み合わせの連合スペクトル半径が、その繰り返し球面的アラウジェ変換の連合作用素ノルムの極限に等しいことを証明し、反復的変換による新たなスペクトル的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

Let $\mathbf{T}=(T_1,\ldots,T_d)$ be a $d$-tuple of operators on a complex Hilbert space $\mathcal{H}$. The spherical Aluthge transform of $\mathbf{T}$ is the $d$-tuple given by $\widehat{\mathbf{T}}:=(\sqrt{P}V_1\sqrt{P},\ldots,\sqrt{P}V_d\sqrt{P})$ where $P:=\sqrt{T_1^*T_1+\ldots+T_d^*T_d}$ and $(V_1,\ldots,V_d)$ is a joint partial isometry such that $T_k=V_k P$ for all $1 \le k \le d$. In this paper, we prove several inequalities involving the joint numerical radius and the joint operator norm of $\widehat{\mathbf{T}}$. Moreover, a characterization of the joint spectral radius of an operator tuple $\mathbf{T}$ via $n$-th iterated of spherical Aluthge transform is established.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間上の作用素の d-重み付き組み合わせに対する球面的アラウジェ変換を定義し、その分析を行う。
• 球面的アラウジェ変換の連合数値半径と連合作用素ノルムの間の鋭い不等式を導出する。
• 繰り返し球面的アラウジェ変換の連合作用素ノルムの極限を用いて、作用素の d-重み付き組み合わせの連合スペクトル半径を特徴付ける。

提案手法

• d-重み付き組み合わせ T = (T₁,…,Tₙ) の球面的アラウジェ変換は、P = (ΣTₖ* Tₖ)¹ᐟ² および Tₖ = VₖP を満たす共通極分解を用いて (P¹ᐟ²V₁P¹ᐟ²,…,P¹ᐟ²VₙP¹ᐟ²) として定義される。
• 連合数値半径 ω(T) は、単位球面上での連合数値範囲の ℓ²-ノルムの上界として定義される。
• 連合作用素ノルム ‖T‖ は、単位球面上での (∑‖Tₖx‖²)¹ᐟ² の上界として定義される。
• 本稿では、球面的アラウジェ変換を繰り返し適用し、その反復の連合作用素ノルムの漸近的挙動を分析する。
• 極めて重要な不等式は、極分解の性質と作用素ノルムの乗法的性質を用いて導出される。
• 連合作用素ノルムの反復的変換の収束に基づく極限的議論が、連合スペクトル半径の特徴付けに用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面的アラウジェ変換の連合数値半径は、元の作用素の組み合わせのそれとどのように関係するか？
• RQ2 球面的アラウジェ変換の連合作用素ノルムと元の組み合わせの連合作用素ノルムの間にはどのような関係があるか？
• RQ3 作用素の d-重み付き組み合わせの連合スペクトル半径は、繰り返し球面的アラウジェ変換を用いて特徴付けられるか？
• RQ4 繰り返し球面的アラウジェ変換の連合作用素ノルムは、連合スペクトル半径に収束するか？
• RQ5 球面的アラウジェ変換に関して、連合数値半径の連合作用素ノルムを用いた鋭い上限は何か？

主な発見

• 球面的アラウジェ変換の連合数値半径は、ω(Ť) ≤ ω(T) を満たし、変換下での単調性を示す。
• 球面的アラウジェ変換の連合作用素ノルムは、‖Ť‖ ≤ ‖T‖ を満たし、ノルムの非増加性を示す。
• 連合スペクトル半径 r(T) は、n 回反復した球面的アラウジェ変換の連合作用素ノルムの極限に等しく、すなわち r(T) = limₙ→∞ ‖Ťₙ‖ である。
• 任意の k ≥ 1 に対して、反復変換の k 乗の連合作用素ノルムは、‖Ťₙᵏ‖ ≤ ‖Tᵏ⁺¹‖¹ᐟ²‖Tᵏ⁻¹‖¹ᐟ² を満たす。
• 反復球面的アラウジェ変換の連合作用素ノルムは連合スペクトル半径 s に収束し、この極限が r(T) に等しいことは背理法によって示される。
• 連合スペクトル半径は、反復球面的アラウジェ変換の連合作用素ノルムの極限として特徴付けられ、これにより新たなスペクトル的表現が得られる。