[論文レビュー] Joint queue length distribution of multi-class, single server queues with preemptive priorities

Andrei Sleptchenko, Selen, Jori+2 more|TU/e Research Portal (Eindhoven University of Technology)|Nov 12, 2014

Advanced Queuing Theory Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、N個の顧客クラスとプリエンプティブ優先順位を備えたM/M/1キューにおける平衡状態における連関キュー長分布を正確に計算する再帰的行列解析的手法を提示する。埋め込まれたM/G/1型マルコフ過程を活用し、切断や無限級数を回避することで、3クラス系においては5秒未塔で部品の代替可能性などのシステム性能指標を高速かつ正確に算出可能である。

ABSTRACT

In this paper we analyze an $M/M/1$ queueing system with an arbitrary number of customer classes, with class-dependent exponential service rates and preemptive priorities between classes. The queuing system can be described by a multi-dimensional Markov process, where the coordinates keep track of the number of customers of each class in the system. Based on matrix-analytic techniques and probabilistic arguments we develop a recursive method for the exact determination of the equilibrium joint queue length distribution. The method is applied to a spare parts logistics problem to illustrate the effect of setting repair priorities on the performance of the system. We conclude by briefly indicating how the method can be extended to an $M/M/1$ queueing system with non-preemptive priorities between customer classes.

研究の動機と目的

• プリエンプティブ優先順位スケジューリングを備えたマルチクラス・シングルサーバキューにおける連関平衡キュー長分布を正確に計算する手法の開発。
• マルチクラス優先キューにおける既存手法の切断や無限級数による数値近似誤差を回避すること。
• 修理可能な部品を有する代替部品物流などの実世界応用における正確な性能評価を可能とすること。
• 埋め込まれたマルコフ過程フレームワークを適応することで、非プリエンプティブ優先システムへの手法の拡張。
• 3クラスの代替部品修理システムを用いた数値実験を通じて、計算効率と正確性の実証。

提案手法

• 本手法は、状態空間をN₀^Nとして、クラス別キュー長を追跡する多変数マルコフ過程としてシステムをモデル化するため、行列解析的手法を用いる。
• 高優先度顧客が存在しないレベルにおける埋め込みマルコフ過程を特定し、それらがM/G/1型であることを特定することで、1回の通過確率を用いた再帰的解法が可能となる。
• 各クラスレベルからの逸脱を分析することで、1ステップ解析により遷移確率を導出し、平衡確率を再帰的に計算する。
• 低優先度顧客は、高優先度のサービス中断に対応する「休暇」を伴うM/G/1キューとしてシステムを観測するという事実を活用する。
• 非プリエンプティブシステムでは、状態空間を現在サービス中の顧客のクラスを含めるように拡張し、境界確率の再帰的計算をそれに合わせて適応する。
• アルゴリズムはJavaで実装され、計算効率を維持しながら正確性を保証するため、確率質量の切断閾値ε = 10⁻⁶が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N個のプリエンプティブ優先度クラスを有するM/M/1キューにおける連関キュー長分布は、切断や無限級数を用いずに正確に計算可能か？
• RQ2 行列解析的手法をどのように再帰的に応用し、優先度に基づく状態遷移を持つ多変数マルコフ過程における平衡確率を計算できるか？
• RQ3 複数の修理可能な部品を有する現実的な代替部品物流シナリオにおいて、提案手法の計算パフォーマンスはいかがなものか？
• RQ4 連関分布は、異なる優先順位割り当ておよびベースストック水準下での正確なシステム可用性分析をどのように可能にするか？
• RQ5 状態記述および埋め込みプロセス構造を変更することで、非プリエンプティブ優先システムへの手法の拡張は可能か？

主な発見

• 本手法は、切断や無限級数を回避する再帰的行列解析的手法を用いて、プリエンプティブ優先度付きNクラスM/M/1キューにおける正確な連関キュー長分布を計算可能である。
• 3クラスの代替部品修理システムでは、負荷や優先順位割り当てに応じて計算時間が0.02～34.35秒の範囲で変動したが、ε = 10⁻⁶により高い正確性が保証された。
• システム可用性は正確に算出され、さまざまな優先順位割り当てにおいて最大値を示し、95％の利用率下でも0.9994を超える値を達成した。
• 最高の可用性（0.9999）は、高優先度部品を先に修理し、低優先度部品のキュー長を最小限に抑えた場合に達成された。
• 利用率レベルや優先順位順位の変動に対しても本手法は頑健であり、平均キュー長およびベースストック水準がシステムパフォーマンスに正確に反映された。
• サービスクラスを状態記述に含め、境界確率の再帰的計算を適応することで、非プリエンプティブシステムへの拡張が可能であることが示された。