[論文レビュー] Joint temporal and contemporaneous aggregation of random-coefficient AR(1) processes with infinite variance

Pilipauskaitė, Vytautė, Skorniakov, Viktor+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2019

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、無限分散の不確実性を持つ α 確立分布（0 < α ≤ 2）の分野における正規吸引領域に属する N 個の独立したランダム係数 AR(1) プロセスの、時系列的および同時的集約を研究する。N と時間スケール n が異なる割合で無限大に近づくとき、集約プロセスの極限的挙動はランダム係数の尾指数 β と N と n の相対的成長率に依存し、α 確立、(αβ) 確立、β 確立、および化合物ポアソン型の極限分布を含む多様な安定および非安定極限分布を生じる。これは、α < 2 の無限分散設定に、従来の有限分散結果を拡張するものである。

ABSTRACT

We discuss joint temporal and contemporaneous aggregation of $N$ independent copies of random-coefficient AR(1) process driven by i.i.d. innovations in the domain of normal attraction of an $\alpha$-stable distribution, $0< \alpha \le 2$, as both $N$ and the time scale $n$ tend to infinity, possibly at a different rate. Assuming that the tail distribution function of the random autoregressive coefficient regularly varies at the unit root with exponent $\beta > 0$, we show that, for $\beta < \max (\alpha, 1)$, the joint aggregate displays a variety of stable and non-stable limit behaviors with stability index depending on $\alpha$, $\beta$ and the mutual increase rate of $N$ and $n$. The paper extends the results of Pilipauskait\.e and Surgailis (2014) from $\alpha = 2$ to $0 < \alpha < 2$.

研究の動機と目的

• 無限分散の不確実性を持つ時系列的および同時的集約されたランダム係数 AR(1) プロセスの共同漸近的挙動を研究すること。
• 従来の有限分散 RCAR(1) パネル（例：Pilipauskaitė & Surgailis, 2014）の結果を α < 2 の無限分散ケースに拡張すること。
• N（プロセス数）と n（時間スケール）の相対的成長率に応じて生じる、安定および非安定の極限分布の全範囲を特徴づけること。
• α 確立、β 確立、(αβ) 確立、およびポアソン混合確立過程を用いた、正規化された集約 SN,n(τ) の極限定理を確立すること。

提案手法

• ランダム係数 AR(1) プロセスを X(t) = aX(t−1) + ε(t) としてモデル化し、a ∈ [0,1) が x=1 の近傍で φ(x) ∼ ψ₁(1−x)β−1 の密度関数を持つものとし、{ε(t)} を i.i.d. の α 確立不確実性（0 < α ≤ 2）とする。
• N, n → ∞ を異なる割合で取りつつ、SN,n(τ) = Σᵢ₌₁ᴺ Σₜ₌₁^[nτ] Xi(t) の共同集約を分析する。
• 有限次元分布の弱収束を用い、特性関数解析と確率積分表現を用いて極限法則を導出する。
• Dambis–Dubins–Schwarz の定理とポアソン確率測度の技術を適用し、極限過程を α 確立確率測度に関する確率積分として表現する。
• スケーリングと条件付き確率の議論を用いて反復極限を導出し、それらを共同極限に内挿し、β と N/n の割合に基づく明確な領域を特定する。
• 有限次元分布（fdd）における収束を、α 確立、(αβ) 確立、β 確立、または化合物ポアソン型の極限に確立する。これは、α、β、および N と n の相対的成長率によって定義されるパrameter領域に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N 個の独立した無限分散不確実性を持つ RCAR(1) プロセスの共同集約が、N と時間スケール n が異なる割合で無限大に近づくとき、極限分布は何か？
• RQ2 ランダム自己回帰係数の尾指数 β が極限挙動に与える影響は何か？パrameter空間における明確な領域は何か？
• RQ3 どのような安定および非安定極限分布が出現し、それらは N と n の相対的成長率にどのように依存するか？
• RQ4 従来の有限分散不確実性（α = 2）の結果を、無限分散ケース（α < 2）にどのように拡張できるか？
• RQ5 極限分布を決定づけるパrameter μ = lim N¹/β / n の役割は何か、特に中間領域においては？

主な発見

• β < max(α, 1) のとき、正規化された集約の極限分布は、N と n の相対的成長率に強く依存し、α 確立、(αβ) 確立、β 確立、または中間的ポアソン型極限に分かれる明確な領域が生じる。
• 1 ≤ β < α で N¹/β / n → ∞ のとき、極限は α 確立である。0 < β < min(α, 1) で N¹/β / n → ∞ のとき、極限は (αβ) 確立である。
• 0 < β < α で N¹/β / n → 0 のとき、極限は β 確立であり、これは α 確立とは異なる重尾極限を示す。
• 中間領域では N¹/β / n → μ ∈ (0, ∞) であるとき、極限はポアソン確率測度を含む化合物分布であり、「中間的ポアソン」と呼ばれる。
• α < β < 1 のとき、N¹/γβ / n → ∞ ならば極限は (αβ) 確立、N¹/γβ / n → 0 ならば α 確立、N¹/γβ / n → μ ∈ (0, ∞) ならば (αβ) 確立と α 確立の畳み込みとなる（γ = 1−α / 1−β）。
• β > max(α, 1) のとき、N と n の成長率にかかわらず極限は α 確立である。これは、集約が E[(1−a)−α]¹/α でスケーリングされた i.i.d. α 確立不確実性の和として振る舞うためである。