[論文レビュー] Jointly Poisson processes

Don H. Johnson, Ilan N. Goodman|ArXiv.org|Nov 13, 2009

Control Systems and Identification参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、各周辺過程がポアソン過程であるが過程間に依存関係を有する連合ポアソン過程が、連合ベルヌーイ過程の小時間間隔極限として自然に生じることを確立する。主な貢献は、このような過程が積モーメントに基づく相関係数を通じてのみ正の相関を示しうることを証明し、この極限が正規化されたサルマノフ＝ランカスター展開に接続されることを示し、神経集団符号化の情報理論的解析を可能にする。

ABSTRACT

What constitutes jointly Poisson processes remains an unresolved issue. This report reviews the current state of the theory and indicates how the accepted but unproven model equals that resulting from the small time-interval limit of jointly Bernoulli processes. One intriguing consequence of these models is that jointly Poisson processes can only be positively correlated as measured by the correlation coefficient defined by cumulants of the probability generating functional.

研究の動機と目的

• 依存する神経スパイクトレインをモデル化する際の連合ポアソン過程の未解決な理論的状態を解消すること。
• 小時間間隔における連合ベルヌーイ過程と連合ポアソン過程との間の厳密な関係を確立すること。
• 連合ポアソン過程の相関構造が積モーメントに基づく相関係数を通じて正の値に制限されることを示すこと。
• 連合ポアソン過程の積モーメントに基づく相関構造と整合するように、サルマノフ＝ランカスター展開の項を正規化すること。
• 連合ポアソン過程の情報理論的量（例：エントロピー、相互情報量）を、ベルヌーイモデルの小確率極限を介して計算可能にする。

提案手法

• 離散時間チャンクにおける小確率イベントを持つ連合ベルヌーイ過程を用いて、連合神経スパイクトレイン統計をモデル化する。
• チャンクサイズ Δt → 0 の極限を取ることで、連合ポアソン過程の確率生成関数を導出する。
• 点過程に適応された確率生成関数を用いた特性関数およびモーメント生成関数の形式を用いる。
• 結合生成関数の対数を、∫λ₁(t)dt、∫λ₂(t)dt、および ∫ρ(t)√(λ₁(t)λ₂(t))dt に比例する項の和として導出する。これらは周辺およびクロス相関成分を表す。
• 分散の幾何平均を用いて、サルマノフ＝ランカスター展開の高次項を正規化し、積モーメントに基づく相関係数と整合させる。
• 滑らかな情報理論的量（例：相互情報量）が、ベルヌーイベースのモデルの極限を介して計算可能であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 文献に合意がなく、理論的モデルが未解決である連合ポアソン過程の正しい理論的モデルは何か？
• RQ2 小時間間隔における連合ベルヌーイ過程は、依存するイベント発生を伴う連合ポアソン過程にどのように収束するか？
• RQ3 積モーメントに基づいて定義された相関係数が、なぜ連合ポアソン過程において非負に制限されるのか？
• RQ4 サルマノフ＝ランカスター展開のどの正規化が、連合ポアソン過程の積モーメントに基づく相関構造と整合するか？
• RQ5 連合ポアソン過程の情報理論的量は、ベルヌーイ過程の小確率極限を介して信頼性高く計算可能か？

主な発見

• Δt → 0 の極限における連合ベルヌーイ過程の極限は、ρ(t)√(λ₁(t)λ₂(t)) に比例するクロス相関項を含む連合ポアソン過程の確率生成関数をもたらす。
• 確率生成関数の積モーメントに基づく相関係数は非負に制限され、連合ポアソン過程が負の相関を示せないことを示す。
• サルマノフ＝ランカスター展開のk次の項の正規化定数は、(σ₁²⋯σₖ²)^(k-1)/k でなければならない。これにより積モーメントに基づく相関係数と整合する。
• この正規化は正規直交性を保ちつつ、連合ポアソンモデルの展開パラメータと一致させる。
• 連合ベルヌーイ過程と連合ポアソン過程との対応関係により、滑らかな情報理論的量（例：エントロピー、相互情報量）をベルヌーイモデルの小確率極限を介して計算可能にする。
• 導出されたモデルにより、積モーメントに基づく相関構造に整合するように、サルマノフ＝ランカスター展開が有効かつ明確に定義されるようになり、従来の定式化における主要な不整合が解消される。