[論文レビュー] Jones index, data hiding and total quantum dimension

Leander Fiedler, Pieter Naaijkens+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、部分因子指数理論を用いて、トポロジカルに秩序された系における全量子次元と秘密分散の間の厳密な関係を確立し、全量子次元が敵対者から古典的情報を隠す効果を定量化することを示している。ジョーンズおよびコサキ–ロンゴの指数理論を用いて、量子チャネルおよび相対エントロピーを定義し、情報隠蔽を数学的に形式化することで、従来のエンタングルメントに基づく手法とは補完的である、新たな厳密な枠組みを提供する。

ABSTRACT

We study the total quantum dimension in the thermodynamic limit of topologically ordered systems. In particular, using the anyons (or superselection sectors) of such models, we define a secret sharing scheme, storing information invisible to a malicious party, and argue that the total quantum dimension quantifies how well we can perform this task. We then argue that this can be made mathematically rigorous using the index theory of subfactors, originally due to Jones and later extended by Kosaki and Longo. This theory provides us with a relative entropy of two von Neumann algebras and a quantum channel, and we argue how these can be used to quantify how much classical information two parties can hide form an adversary. We also review the total quantum dimension in finite systems, in particular how it relates to topological entanglement entropy. It is known that the latter also has an interpretation in terms of secret sharing schemes, although this is shown by completely different methods from ours. Our work provides a different and independent take on this, which at the same time is completely mathematically rigorous. This complementary point of view might be beneficial, for example, when studying the stability of the total quantum dimension when the system is perturbed.

研究の動機と目的

• トポロジカルな量子系における全量子次元を情報隠蔽プロトコルと厳密に結びつけること。
• ジョーンズおよびコサキ–ロンゴの部分因子指数理論を応用し、敵対者から隠せる古典的情報の量を定量化すること。
• 従来のエンタングルメントに基づく解釈とは対照的に、トポロジカルな秩序と秘密分散の数学的厳密な代替枠組みを提供すること。
• この新しい形式を用いて、系の摂動に対する全量子次元の安定性を検討すること。

提案手法

• トポロジカルに秩序された系における anyons あるいは超選別セクターを用いて、悪意ある参加者から情報が隠される秘密分散方式を定義する。
• ジョーンズが開発し、コサキおよびロンゴによって拡張された部分因子の指数理論を適用し、フォン・ノイマン代数間の相対エントロピーを定義する。
• 部分因子フレームワークを用いて量子チャネルを構築し、秘密分散プロトコルにおける参加者間の情報伝達をモデル化する。
• 部分因子の数学的構造に依拠して、隠せる古典的情報量を厳密に定量化する。
• 全量子次元とトポロジカルなエンタングルメントエントロピーを比較し、秘密分散解釈において等価であるが、根本的に異なる数学的アプローチを用いて導出されることを示す。
• 全量子次元と外部観測者からの情報隠蔽能力の間の形式的関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全量子次元は、トポロジカルな量子系における情報隠蔽能力の指標としてどのように解釈できるか？
• RQ2 部分因子指数理論は、情報隠蔽の定量化にどのような厳密な数学的枠組みを提供するか？
• RQ3 提案されたアプローチは、トポロジカル秩序における秘密分散のエンタングルメントエントロピーに基づく解釈とどのように比較できるか？
• RQ4 この形式を用いて、全量子次元が摂動に対して安定していることが示せるか？
• RQ5 量子チャネルおよび相対エントロピーは、トポロジカルな相における秘密分散の文脈で果たす明確な役割は何か？

主な発見

• 全量子次元は、anyons を用いた秘密分散方式において、敵対者から隠せる古典的情報の最大量を定量化している。
• 部分因子指数理論は、フォン・ノイマン代数間の相対エントロピーを定義する厳密な数学的道具を提供し、情報隠蔽の正確な定量化を可能にする。
• 部分因子フレームワークから導出された量子チャネルは、敵対者のアクセスが制限されている状況を考慮しつつ、参加者間の情報伝達をモデル化する。
• 全量子次元は、秘密分散能力としての解釈において、トポロジカルなエンタングルメントエントロピーと等価であることが示されたが、根本的に異なる数学的アプローチを用いて導出されている。
• この枠組みは、エンタングルメントに基づく手法とは異なり、トポロジカル秩序における情報隠蔽の新たな数学的厳密な視点を提供する。
• このアプローチは、摂動下での全量子次元の安定性を検討する基盤を提供し、トポロジカルな量子情報理論における新たな研究方向性を示唆する。