[論文レビュー] Jordan Blocks of H^2(D^n)

Jaydeb Sarkar|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$n \geq 2$ に対して、$H^2(\mathbb{D}^n)$ の二重可換な商モジュールおよび余二重可換な部分モジュールを完全に特徴づける。このような商モジュールは、一変数のジョルダン・ブロック $H^2(\mathbb{D})/\Theta_i H^2(\mathbb{D})$ のテンソル積として表され、余二重可換な部分モジュールは、一変数の内挙関数によって生成される主イデアルの和として現れることを示し、ベアリングの定理を多変数設定に一般化する。

ABSTRACT

We develop a several variables analog of the Jordan blocks of the Hardy space $H^2(\mathbb{D})$. In this consideration, we obtain a complete characterization of the doubly commuting quotient modules of the Hardy module $H^2(\mathbb{D}^n)$. We prove that a quotient module $\clq$ of $H^2(\mathbb{D}^n)$ ($n \geq 2$) is doubly commuting if and only if \[\clq = \clq_{Θ_1} \otimes \cdots \otimes \clq_{Θ_n},\]where each $\clq_{Θ_i}$ is either a one variable Jordan block $H^2(\mathbb{D})/Θ_i H^2(\mathbb{D})$ for some inner function $Θ_i$ or the Hardy module $H^2(\mathbb{D})$ on the unit disk for all $i = 1, \ldots, n$. We say that a submodule $\cls$ of $H^2(\mathbb{D}^n)$ is a co-doubly commuting if the quotient module $H^2(\mathbb{D}^n)/\cls$ is doubly commuting. We obtain a Beurling like theorem for the class of co-doubly commuting submodules of $H^2(\mathbb{D}^n)$. We prove that a submodule $\cls$ of $H^2(\mathbb{D}^n)$ is co-doubly commuting if and only if \[\cls = \mathop{\sum}_{i=1}^m Θ_i H^2(\mathbb{D}^n),\]for some integer $m \leq n$ and one variable inner functions $\{Θ_i\}_{i=1}^m$.

研究の動機と目的

• 一変数のハーディ空間 $H^2(\mathbb{D})$ のジョルダン・ブロック理論を $n \geq 2$ の多変数設定 $H^2(\mathbb{D}^n)$ に拡張すること。
• 二重可換な商モジュール $H^2(\mathbb{D}^n)$ を一変数ジョルダン・ブロックのテンソル積として特徴づけること。
• 余二重可換な部分モジュール $H^2(\mathbb{D}^n)$ に対して、ベアリング型の定理を確立し、それらが一変数の内挙関数によって生成されるイデアルの和として特定されることを示すこと。
• 直交射影およびモジュール乗算作用素を用いた、これらのモジュールの構造的分解を提供すること。

提案手法

• 本稿は、モジュール構造を保つユニタリ写像を介して $H^2(\mathbb{D}^n)$ を $n$ 重のヒルベルトテンソル積 $H^2(\mathbb{D}) \otimes \cdots \otimes H^2(\mathbb{D})$ と同一視する。
• ジョルダン・ブロックは、乗算作用素の圧縮が $i \neq j$ に対して $C_{z_i}C_{z_j}^* = C_{z_j}^*C_{z_i}$ を満たす二重可換な商モジュールとして定義される。
• 主な技術的アプローチは、一変数の内挙関数に関連するランク1射影 $I - M_{\tilde{\Theta}_i}M_{\tilde{\Theta}_i}^*$ の積を用いた、商モジュールへの直交射影の解析である。
• 証明は、$i \neq j$ に対して $M_{z_i}M_{z_j}^* = M_{z_j}^*M_{z_i}$ が成り立つこと、つまり二重可換条件が保証されることに依存する。
• 補題 2.5 を適用し、射影作用素の像をイデアル $\tilde{\Theta}_{i_j}H^2(\mathbb{D}^n)$ の和と関連づけ、$\mathcal{Q}^\perp$ の特徴づけを導出する。
• 商モジュール $\mathcal{Q}$ の構造は、各 $\tilde{\Theta}_{i_j}$ が一変数の内挙関数であるとき、$\mathcal{Q} = H^2(\mathbb{D}^n)/\sum_{j=1}^m \tilde{\Theta}_{i_j}H^2(\mathbb{D}^n)$ として得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq 2$ に対して、$H^2(\mathbb{D}^n)$ の二重可換な商モジュールの完全な構造は何か？
• RQ2 余二重可換な部分モジュール $H^2(\mathbb{D}^n)$ は、ベアリングの定理に類似した形でどのように特徴づけられるか？
• RQ3 一変数ジョルダン・ブロックのテンソル積分解を、多変数ジョルダン・ブロックに拡張できるか？
• RQ4 直交射影は、これらのモジュールの構造を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ5 高次元において、二重可換条件の下でモジュール乗算作用素はどのように振る舞うか？

主な発見

• 商モジュール $\mathcal{Q}$ が $H^2(\mathbb{D}^n)$ で二重可換であるための必要十分条件は、$\mathcal{Q} = \mathcal{Q}_{\Theta_1} \otimes \cdots \otimes \mathcal{Q}_{\Theta_n}$ と分解されることであり、ここで各 $\mathcal{Q}_{\Theta_i}$ は一変数ジョルダン・ブロック $H^2(\mathbb{D})/\Theta_i H^2(\mathbb{D})$ または $H^2(\mathbb{D})$ そのものである。
• 部分モジュール $\mathcal{S}$ が $H^2(\mathbb{D}^n)$ で余二重可換であるための必要十分条件は、$\mathcal{S} = \sum_{i=1}^m \Theta_i H^2(\mathbb{D}^n)$ と表されることであり、ここで $m \leq n$ で各 $\Theta_i$ は一変数の内挙関数である。
• 商モジュール $\mathcal{Q}$ への直交射影は、$P_{\mathcal{Q}} = I - \prod_{j=1}^m (I - M_{\tilde{\Theta}_{i_j}}M_{\tilde{\Theta}_{i_j}}^*)$ で与えられ、ここで $\tilde{\Theta}_{i_j}(\bm{z}) = \Theta_{i_j}(z_{i_j})$ である。
• 部分モジュール $\mathcal{Q}^\perp$ への直交射影は $P_{\mathcal{Q}^\perp} = \prod_{j=1}^m (I - M_{\tilde{\Theta}_{i_j}}M_{\tilde{\Theta}_{i_j}}^*)$ で与えられ、これによりアニュレーターの構造が確認される。
• 本結果は、2007 年の Izuuchi, Nakazi, および Seto の定理 3.1 を、二変数ドメインから任意の次元 $n \geq 2$ の多変数ドメインに一般化する。
• 特徴づけにより、余二重可換な部分モジュールに対してベアリング型の定理が得られ、それらが一変数の内挙関数によって生成される主イデアルの和として特定されることを示している。