[論文レビュー] Jordan C*-Algebras and Supergravity

Michael Rios|arXiv (Cornell University)|May 19, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 54被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、バイオクタニオン（$\mathbb{O}_{\mathbb{C}}$）上の例外的ジョルダン $C^*$-代数を用いて、$Ν=8$ および例外的 $Ν=2$ スーパーグラビティ理論を統一する。この代数は、オクタニオンおよびスプリット・オクタニオンのジョルダン代数を部分構造として含む。フレーデンタール三重系とその単一変数拡張（EFTS）を構成し、$E_8$ 群の複素形式が準共形不変性群として作用することを示し、$D=3$ のコンパクト化における非実解の問題を解決するとともに、量子情報解釈を支持する。

ABSTRACT

It is known that black hole charge vectors of N=8 and magic N=2 supergravity in four and five dimensions can be represented as elements of Jordan algebras of degree three over the octonions and split-octonions and their Freudenthal triple systems. We show both such Jordan algebras are contained in the exceptional Jordan C*-algebra and construct its corresponding Freudenthal triple system and single variable extension. The transformation groups for these structures give rise to the complex forms of the U-duality groups for N=8 and magic N=2 supergravities in three, four and five dimensions.

研究の動機と目的

• $D=3,4,5$ における $Ν=8$ および例外的 $Ν=2$ スーパーグラビティ理論を、共通の代数的枠組みを用いて統一すること。
• $Ν=8$ およびマジック $Ν=2$ スーパーグラビティの $D=3$ コンパクト化における問題的な非実解を解消すること。
• $E_8(\mathbb{C})$ の準共形不変性群としての役割を数学的に基礎づけるために、例外的ジョルダン $C^*$-代数 $J^{ϵ}_{3}(\mathbb{O}_{\mathbb{C}})$ 上にフレーデンタール三重系とその単一変数拡張（EFTS）を構成すること。
• $E_8(\mathbb{C})$ の準共形対称性が拡張系においてどのように作用するかを明らかにすること。
• 三-qubit エンタングルメント分類との接点を探索することにより、量子情報理論と接続すること。

提案手法

• バイオクタニオン（$\mathbb{O}_{\mathbb{C}}$）上に、例外的ジョルダン $C^*$-代数 $J^{ϵ}_{3}(\mathbb{O}_{\mathbb{C}})$ を構成し、ここにはオクタニオンおよびスプリット・オクタニオンのジョルダン代数が部分代数として含まれる。
• フレーデンタール三重系 $\mathfrak{M}(J^{ϵ}_{3}(\mathbb{O}_{\mathbb{C}}))$ は、三重積と四次不変量を持つ56次元の複素ベクトル空間として定義される。
• 拡張フレーデンタール三重系（EFTS）$\mathfrak{T}(J^{ϵ}_{3}(\mathbb{O}_{\mathbb{C}}))$ は、FTSに複素スカラー $\tau$ を加えて $\mathfrak{M}(J^{ϵ}_{3}(\mathbb{O}_{\mathbb{C}})) \oplus \mathbb{C}$ を形成することで構成される。
• 四次シンプレクティック距離 $d(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = q(\mathcal{X}-\mathcal{Y}) - (\tau - \kappa + \{\mathcal{X},\mathcal{Y}\})^2$ が導入され、EFTSの幾何を定義する。
• 状態の分類に、$\mathcal{N}(\mathbf{X}) = q(\mathcal{X}) - \tau^2$ のノルムが用いられ、$q(\mathcal{X}) < 0$ のとき非実 $\tau$ 解が許容可能となる。
• $E_8(\mathbb{C})$ のリー代数のEFTS上への作用は、生成子 $K$, $U$, $S$, $\widetilde{U}$, $\widetilde{K}$ を用いて実現され、三重積およびシンプレクティック形式を用いた明示的な変換則が与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バイオクタニオン上の例外的ジョルダン $C^*$-代数は、$\mathcal{N}=8$ および例外的 $\mathcal{N}=2$ スーパーグラビティ理論を統一できるか？
• RQ2 拡張フレーデンタール三重系は、$\mathcal{N}=8$ およびマジック $\mathcal{N}=2$ スーパーグラビティの $D=3$ コンパクト化における非実解をどのように解消するか？
• RQ3 $E_8(\mathbb{C})$ の準共形群は拡張系においてどのような役割を果たし、EFTSにどのように作用するか？
• RQ4 EFTSは、量子情報における三-qubit エンタングルメント分類の幾何的枠組みを提供できるか？
• RQ5 整数バイオクタニオンから、$E_6(\mathbb{C})_{\mathbb{Z}}$, $E_7(\mathbb{C})_{\mathbb{Z}}$, $E_8(\mathbb{C})_{\mathbb{Z}}$ の離散U duality 軌道はどのようにして生じるか？

主な発見

• $J^{ϵ}_{3}(\mathbb{O}_{\mathbb{C}})$ は、3次元オクタニオンおよびスプリット・オクタニオンのジョルダン代数を部分代数として含み、$\mathcal{N}=8$ および例外的 $\mathcal{N}=2$ スーパーグラビティの統一的代数的構造を提供する。
• $\mathfrak{M}(J^{ϵ}_{3}(\mathbb{O}_{\mathbb{C}}))$ は、三重積と四次不変量を持つ56次元の複素ベクトル空間であり、$E_6(\mathbb{C})$ 対称性群を実現する。
• $\mathfrak{T}(J^{ϵ}_{3}(\mathbb{O}_{\mathbb{C}}))$ は、複素スカラー $\tau$ を加えることで構成され、$D=3$ コンパクト化における非実解の解消を可能にする。
• $\mathcal{N}(\mathbf{X}) = q(\mathcal{X}) - \tau^2$ のノルムにより、$q(\mathcal{X}) < 0$ のとき非実 $\tau$ 解が許容可能となり、$E_8(\mathbb{C})$ の準共形群は光的分離 $d(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = 0$ を保存する。
• $E_8(\mathbb{C})$ のリー代数は、生成子 $K$, $U$, $S$, $\widetilde{U}$, $\widetilde{K}$ を用いてEFTS上に作用し、三重積およびシンプレクティック形式を用いた変換則が明示的に与えられる。
• EFTSは $\mathbb{C}^{57}$ 上に $E_8(\mathbb{C})$ を実現し、Borsten らの三-qubit エンタングルメント分類を支持するとともに、自動形式ブラックホール分配関数のさらなる研究を可能にする。