[論文レビュー] Jordan counterparts of Rickart and Baer $*$-algebras

Shavkat Ayupov, Farhodjon Arzikulov|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2016

Advanced Algebra and Logic被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、リッカートおよびベア $*$-代数のジョルダン代数版を導入し、任意の元の零化部分集合が冪等元によって生成されることを条件とするリッカート・ジョルダン代数を定義する。有限次元単位的ジョルダン代数が冪零元をもたないとき、それがベア・ジョルダン代数であること、かつ単純ジョルダン代数の直和に分解されることを示す。また、最小冪等元を含む代数の分類結果も得る。

ABSTRACT

There are Jordan analogues of annihilators in Jordan algebras which are called Jordan annihilators. The present paper is devoted to investigation of those Jordan algebras every Jordan annihilator of which is generated by an idempotent as an inner ideal. We prove that a finite dimensional unital Jordan algebra satisfies this condition if and only if it has no nilpotent elements, and in this case it is a direct sum of simple Jordan algebras.

研究の動機と目的

• ジョルダン代数のリッカートおよびベア $*$-代数の類似を、零化部分集合の条件を用いて定義し、研究すること。
• 冪零元をもたない有限次元単位的ジョルダン代数が、冪等元による零化部分集合の生成を満たすことで特徴づけられることを示すこと。
• 1を合計とする $n \geq 3$ 個の互いに直交し、強く接続された最小冪等元を含む有限次元ベア・ジョルダン代数を分類すること。
• すべての有限次元単位的ジョルダン代数が冪零元をもたないならば、それがベア・ジョルダン代数であることを示すこと。
• このような代数が単純ジョルダン代数の直和に分解されることを示すこと。

提案手法

• ジョルダン零化部分集合 $S^\perp = \{a \in A : U_a x = 0 \text{ すべての } x \in S \text{ に対して}\}$ および $^\perp S = \{x \in A : U_a x = 0 \text{ すべての } a \in S \text{ に対して}\}$ を定義する。
• 条件 (A1) を用いてリッカート・ジョルダン代数を定義する：すべての $x \in A_+$ に対して、$\{x\}^\perp = U_e(A)$ となる冪等元 $e$ が存在する。
• 条件 (B1) を用いてベア・ジョルダン代数を定義する：すべての $x \in A$ に対して、$^\perp\{x\}_+ = U_e(A)_+$ となる冪等元 $e$ が存在する。
• シュルシュォフ＝コーンおよびマクドナルドの恒等式を用いて、ジョルダン代数における $U_a$ 演算子および内部理想を分析する。
• 座標化定理および最小冪等元の性質を用いて、1を合計とする $n \geq 3$ 個の直交する最小冪等元を含む代数を分類する。
• 冪等元のラティス的議論を用いて、最小上界の存在および冪等元のラティスの完備性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョルダン代数における部分集合の零化部分集合が、内部的理想として冪等元によって生成されるのはいつか？
• RQ2 すべてのジョルダン零化部分集合が冪等元によって生成されるような、有限次元単位的ジョルダン代数はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 冪零元をもたない有限次元単位的ジョルダン代数の中で、ベア・ジョルダン代数であるものはどれか？
• RQ4 1を合計とする $n \geq 3$ 個の互いに直交し、強く接続された最小冪等元を含む有限次元ベア・ジョルダン代数の構造は何か？
• RQ5 $*$-代数におけるリッカートおよびベアの条件が、ジョルダン代数においてどのように類似条件に翻訳されるか？

主な発見

• 有限次元単位的ジョルダン代数がベア・ジョルダン代数であることと、冪零元をもたないこととは同値である。
• すべての有限次元単位的ジョルダン代数が冪零元をもたないとき、それは単純ジョルダン代数の直和に分解される。
• 有限次元ベア・ジョルダン代数が $n \geq 3$ 個の互いに直交し、強く接続された最小冪等元を含み、その和が 1 であるならば、$n=3$ のとき $H_n(\mathbb{R})$、$H_n(\mathbb{C})$、$H_n(\mathbb{H})$、または $H_3(\mathbb{O})$ に同型である。
• すべての有限次元単位的ジョルダン代数が冪零元をもたないとき、条件 (A1) を満たすため、リッカート・ジョルダン代数である。
• 有限次元単位的ジョルダン代数が冪零元をもたないとき、その冪等元のラティスは完備である。
• 有限次元形式的実単位的ジョルダン代数が、1を合計とする2つの接続された最小冪等元をもつとき、$\dim A = 3$ ならば $A \cong H_2(\mathbb{R})$ であり、$\dim A = 4$ ならば $A \cong \mathbb{R} \oplus H$ である（$H$ は2次元ヒルベルト空間）。