[論文レビュー] Jordan domains with a rectifiable arc in their boundary

Vasiliki Liontou, Vassili Nestoridis|arXiv (Cornell University)|May 5, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Jordan領域の境界にrectifiableな弧が存在する場合、そのRiemann写像の導関数が、その弧の前像近辺で$ H^1 $関数のように振る舞うことを確立する。反射法とHardy空間の性質を用いて、弧への径方向接近における導関数の$ L^1 $ノルムが一様に有界であることを証明し、直線的Jordan曲線が$ H^1 $導関数に対応する古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

We show that if an open arc J of the boundary of a Jordan domain $Ω$ is rectifiable, then the derivative $Φ$' of the Riemann map $Φ: D ightarrow Ω$ from the open unit disk D onto $Ω$ behaves as an $H^1$ function when we approach the arc $Φ^{-1}(J^{\prime})$,where $J^{\prime}$ is any compact subarc of $J$. "

研究の動機と目的

• 境界の一部が直線的である場合に、直線的Jordan曲線とRiemann写像の$ H^1 $導関数との古典的同値性を一般化すること。
• Jordan領域における直線的境界弧のコンパクト部分弧近辺でのRiemann写像導関数の挙動を調査すること。
• 単位円板の部分弧に沿った$ L^1 $ノルムが有界のまま保たれるような、境界全体が直線的でない関数に対しても、Hardy空間$ H^p $の理論を拡張すること。
• 単位円板の部分弧上に定義された一般化されたHardy型空間の位相的および関数解析的性質を探索すること。

提案手法

• 直線的境界弧$ J $のコンパクト部分弧$ J' $を、全直線的Jordan曲線$ \gamma' $に拡張するための反射法の適用により、$ \Omega $の部分領域$ G' \subset \Omega $を生成する。
• 古典的理論により、$ f: D \to G' $をRiemann写像とし、$ f' \in H^1(D) $を保証する。
• 単位円板から自身への共形写像$ h = \Phi^{-1} \circ f $を定義し、$ J' $の前像を単位円板の部分弧に写像する。
• 単位円板近辺での解析的延長を反射法により実行し、近傍内で正則かつ単射であることを保証する。
• $ f' \in H^1 $に由来する$ r \to 1^- $における$ \int_a^b |f'(re^{it})| dt $の一様有界性を用いて、$ \int_a^b |\Phi'(re^{it})| dt $を制御する。
• 分割に基づく推定と極限の議論により、鍵となる不等式$ \text{length}(\Phi(e^{it})_{t\in[a,b]}) \leq \liminf_{r\to1^-} \text{length}(\Phi(re^{it})_{t\in[a,b]}) $を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界の一部が直線的である場合に、Riemann写像の導関数がHardy空間$ H^1 $に属する条件は何か？
• RQ2 境界の一部が直線的である場合に、直線的境界と$ H^1 $-導関数の古典的同値性を部分弧に拡張できるか？
• RQ3 径方向極限で直線的部分弧に近づく際のRiemann写像導関数の$ L^1 $ノルムの挙動は何か？
• RQ4 $ r \to 1^- $におけるRiemann写像による径方向線分の像の長さと、境界弧の長さの関係は何か？
• RQ5 単位円板の部分弧上に定義された一般化されたHardy型空間の位相的および完備性の性質は何か？

主な発見

• 境界$ \partial\Omega $に直線的開弧$ J $が存在し、$ J' \subset J $がコンパクト部分弧であるとき、$ \Phi^{-1}(J') = [a,b] \subset \partial D $を満たすならば、$ r \to 1^- $における$ \int_a^b |\Phi'(re^{it})| dt $は有界に保たれる。
• 区間$ t \in [a,b] $における境界弧$ \Phi(e^{it}) $の長さは、$ \text{length}(\Phi(e^{it})_{t\in[a,b]}) \leq \liminf_{r\to1^-} \text{length}(\Phi(re^{it})_{t\in[a,b]}) $を満たす。
• 区間$ t \in [a,b] $における境界弧$ \Phi(e^{it}) $の長さが有限であるならば、$ \lim_{r\to1^-} \text{length}(\Phi(re^{it})_{t\in[a,b]}) = \text{length}(\Phi(e^{it})_{t\in[a,b]}) $が成り立つ。
• 導関数$ \Phi' $の$ H^1 $性質は、直線的弧の前像近辺でも保たれる：$ \sup_{0<r<1} \int_a^b |\Phi'(re^{it})| dt < \infty $。
• 同値条件が成立する：$ \Phi' $が$ [a,b] $に沿って一様に有界な$ L^1 $ノルムを持つことと、境界弧$ \Phi(e^{it}) $が直線的であり、かつ$ r \to 1^- $における像曲線$ \Phi(re^{it}) $の長さが一様に有界であることは同値である。
• 本稿では、$ \liminf_{r\to1^-} \text{length}(\Phi(re^{it})) < \limsup_{r\to1^-} \text{length}(\Phi(re^{it})) $を満たす候補反例を構成しているが、そのような例は確認されていない。