[論文レビュー] Jordan Normal and Rational Normal Form Algorithms

Bernard Parisse, Morgane Vaughan|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2004

Polynomial and algebraic computation参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Fadeevの公式と(λI − A)の余因子行列を用いて、行列のジョルダン標準形および有理標準形を決定的アルゴリズムで計算する手法を提示する。非ゼロの列が固有値λ₀に対する固有ベクトルをなすという事実を活用し、特徴多項式が因数分解されている場合、O(n⁴)の体演算で効率的な計算が可能となる。

ABSTRACT

In this paper, we present a determinist Jordan normal form algorithms based on the Fadeev formula: \[(λ\cdot I-A) \cdot B(λ)=P(λ) \cdot I\] where $B(λ)$ is $(λ\cdot I-A)$'s comatrix and $P(λ)$ is $A$'s characteristic polynomial. This rational Jordan normal form algorithm differs from usual algorithms since it is not based on the Frobenius/Smith normal form but rather on the idea already remarked in Gantmacher that the non-zero column vectors of $B(λ_0)$ are eigenvectors of $A$ associated to $λ_0$ for any root $λ_0$ of the characteristical polynomial. The complexity of the algorithm is $O(n^4)$ field operations if we know the factorization of the characteristic polynomial (or $O(n^5 \ln(n))$ operations for a matrix of integers of fixed size). This algorithm has been implemented using the Maple and Giac/Xcas computer algebra systems.

研究の動機と目的

• 代数的に閉じた体上の行列のジョルダン標準形を計算する決定的アルゴリズムの開発。
• 体の拡張を必要とせず、任意の体上で有理標準形を計算する手法への拡張。
• Frobenius/Smith標準形に基づく手法とは異なり、(λI − A)の余因子行列を用いる代替手法の提供。
• 既知の特徴多項式の因数分解のもとでO(n⁴)の複雑度を達成し、並列化に適している。
• MapleおよびGiac/Xcasなどのコンピュータ代数システムへの実装と統合を図り、実用的利用を可能にする。

提案手法

• 特徴多項式P(λ)および行列多項式B(λ)（(λI − A)の余因子行列）をFadeevのアルゴリズムで計算する。
• 恒等式(λI − A)B(λ) = P(λ)Iを用いて、トレースに基づく公式を用いてB(λ)の係数に関する再帰関係を導出する。
• 固有値λ₀におけるB(λ₀)の評価にホーナーの方法を適用し、固有ベクトルを効率的に抽出する。
• P(λ)の既約因子Q(λ)を用いた線形方程式系を解くことで一般化固有ベクトルを構成する。
• 二項係数の恒等式を用いて、再帰式(9)により基本ベクトルから高次巡回ベクトルを再構成する。
• 複素数ジョルダン形の計算と、次数>1の既約因子に対する有理標準形への変換を組み合わせたハイブリッド手法をMapleおよびGiac/Xcasに実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有値評価のみに依存し、(λI − A)の余因子行列を用いてジョルダン標準形を決定的に計算できるか？
• RQ2 体の拡張を用いずに、行列多項式演算のみで有理標準形を構成する方法は何か？
• RQ3 Frobenius/Smith標準形法と比較して、余因子行列に基づくアルゴリズムの計算複雑度はどの程度か？
• RQ4 このアルゴリズムは、記号計算のオーバーヘッドを最小限に抑えながら、コンピュータ代数システムに効率的に実装可能か？
• RQ5 多項式行列演算を用いて、基本固有ベクトルから一般化固有ベクトルを体系的に再構成する方法は何か？

主な発見

• 特徴多項式が完全に因数分解されている場合、アルゴリズムはO(n⁴)の体演算でジョルダン標準形を計算する。
• 固定サイズの整数行列では、多項式因数分解のコストにより、複雑度はO(n⁵ ln n)に増加する。
• 有理標準形は、まず擬似有理形を計算し、その後構造的変換により変換することで構成される。
• FrobeniusまたはSmith標準形に依存せず、有理標準形計算のための新たなアプローチを提供する。
• 本アルゴリズムはMapleおよびGiac/Xcasに成功裏に実装されており、jordanおよびrat_jordanなどの関数が直接利用可能である。
• 重要な洞察として、B(λ₀)の非ゼロの列は固有値λ₀に対する固有ベクトルであるため、(A − λ₀I)v = 0を解くことなく直接固有ベクトルを抽出可能である。