[論文レビュー] Jost function, prime numbers and Riemann zeta function

S. Joffily|ArXiv.org|Mar 6, 2003

Advanced Mathematical Theories参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、リーマンゼータ関数の非自明な零点、素数の分布、および量子散乱理論におけるジョスト関数の複素零点の間の新しい接続を提案する。斥力的カットオフポテンシャルからのs波散乱を分析することで、これらのジョスト関数の零点の虚部の漸近的挙動（仮想共鳴状態を表す）が、臨界線上のゼータ零点の高さおよび素数の漸近的増加と正確に一致することを示し、数論的パターンの背後にある動的量子系の可能性を示唆する。

ABSTRACT

The large complex zeros of the Jost function (poles of the S matrix) in the complex wave number-plane for s-wave scattering by truncated potentials are associated to the distribution of large prime numbers as well as to the asymptotic behavior of the imaginary parts of the zeros of the Riemann zeta function on the critical line. A variant of the Hilbert and Polya conjecture is proposed and considerations about the Dirac sea as ``virtual resonances'' are briefly discussed.

研究の動機と目的

• 量子散乱におけるS行列の複素運動量極として、リーマンゼータ関数の非自明な零点の物理的実現を確立すること。
• これらの散乱極の虚部と、ゼータ零点の高さおよび素数の列の間の漸近的対応関係を探索すること。
• 自己随伴ハミルトニアンの代わりに仮想共鳴状態の散乱系を用いたヒルベルト＝ポーヤ予想の変種を提唱すること。
• 真空中が無限個の仮想共鳴状態の集合として解釈され得るという仮説を提示し、量子カオスで観察される普遍的スペクトル揺らぎを説明する可能性を示唆すること。

提案手法

• 斥力的カットオフポテンシャル $ V(r) = O(r^{-1-\rho}) $, $ \rho > 0 $ の下でのs波非相対論的散乱の解析。
• 径数シュレーディンガー方程式の正則解およびジョスト解のウェロンスキー式により定義されるジョスト関数 $ f_\pm(k) $ の使用。
• ジョスト関数の複素波数零点 $ \beta_n $ を変換 $ z_n = \frac{1}{2} + i \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\text{Re}\, \beta_n}{\text{Im}\, \beta_n} $ により臨界線にマッピングすること。
• 第二の変換 $ p_n \sim \frac{1}{4\pi} \cdot \text{Im}\, \beta_n $ を用いて、仮想共鳴状態の幅をn番目の素数に関連付けること。
• 大規模なnに対する漸近展開、例えば $ \text{Im}\, \beta_n \sim \frac{2\pi n}{\ln n} \cdot \left(1 - \frac{1}{n\pi}\right) $ を用いて、$ t_n $ および $ p_n $ のグローバルな挙動を導出すること。
• 数値的に得られたジョスト関数の零点（$ v=2 $ の場合）とオドリツコのゼータ零点データおよびカラルドの素数表を比較し、グローバルな傾向に一致することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマンゼータ関数の非自明な零点は、散乱系におけるS行列の極として物理的に実現可能か？
• RQ2 ジョスト関数の零点の虚部と、ゼータ零点の高さおよび素数の列との間には直接的な漸近的対応関係があるか？
• RQ3 真空中を無限個の仮想共鳴状態の系としてモデル化できるか。その性質は、量子カオスおよび普遍的スペクトル統計を反映するか？
• RQ4 これらの仮想共鳴状態のエネルギー対幅比は、ゼータ零点の臨界線分布とどのように関係するか？

主な発見

• 斥力的カットオフポテンシャルからのs波散乱におけるジョスト関数の零点の虚部の漸近的挙動は、臨界線上の非自明なゼータ零点の高さ $ t_n $ の漸近的増加と一致し、$ t_n \sim \frac{2\pi n}{\ln n} $ となる。
• 変換後、仮想共鳴状態の幅（$ \text{Im}\, \beta_n $ に比例）は、素数定理が予測するように、n番目の素数 $ p_n \sim n \ln n $ のグローバルな漸近的挙動を再現する。
• $ n \leq 6 \times 10^4 $ の範囲で、変換されたジョスト零点とオドリツコのゼータ零点データおよびカラルドの素数列との間で良好な一致が得られた。
• 図1aおよび1bのインセットに見えるゼータ零点および素数の局所的揺らぎ（偏差）は、現在のポテンシャルモデルでは捉えられていないため、統計的残差相互作用の導入が求められる。
• ジョスト零点から得られるエネルギー対幅比 $ 4\pi E_n / G_n \sim \pi \cdot \text{Re}\, \beta_n / \text{Im}\, \beta_n $ は、$ v=2 $ の場合にゼータ零点の $ t_n $ 値とよく一致する。
• このモデルは、仮想共鳴状態を介したヒルベルト＝ポーヤ予想の物理的実現を示唆し、真空を無限個の離散的幅を持つ共鳴状態の動的系として捉える可能性を示し、数論と量子カオスを結ぶ可能性を示唆する。