[論文レビュー] Jost-Lehmann-Dyson Representation and Froissart-Martin Bound in Quantum Field Theory on Noncommutative Space-Time

Масуд Чайчиан, Anca Tureanu|ArXiv.org|Mar 2, 2004

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、空間-空間非可換性（θ₀ᵢ = 0）を有する非可換量子場理論（NC QFT）における高エネルギー散乱断面積の上限を検討する。この理論は SO(1,1)×SO(2) 対称性を保つ。物理的に妥当な因果律条件を用いて、散乱振幅の解析接続領域を Lehmann 楕円として特定し、全断面積に対する Froissart-Martin 界の初の厳密な導出に成功した。この結果は、入射運動量が非可換平面に直交する場合にのみ有効である。

ABSTRACT

In the framework of quantum field theory (QFT) on noncommutative (NC) space-time with $SO(1,1) imes SO(2)$ symmetry, which is the feature arising when one has only space-space noncommutativity ($θ_{0i}=0$), we prove that the Jost-Lehmann-Dyson representation, based on the causality condition usually taken in connection with this symmetry, leads to the mere impossibility of drawing any conclusion on the analyticity of the $2 o 2$-scattering amplitude in $\cosΘ$, $Θ$ being the scattering angle. A physical choice of the causality condition rescues the situation and as a result an analog of Lehmann's ellipse as domain of analyticity in $\cosΘ$ is obtained. However, the enlargement of this analyticity domain to Martin's ellipse and the derivation of the Froissart bound for the total cross-section in NC QFT is possible {\it only} in the special case when the incoming momentum is orthogonal to the NC plane. This is the first example of a nonlocal theory in which the cross-sections are subject to a high-energy bound. For the general configuration of the direction of the incoming particle, although the scattering amplitude is still analytic in the Lehmann ellipse, no bound on the total cross-section has been derived. This is due to the lack of a simple unitarity constraint on the partial-wave amplitudes, which could be used in this case. High-energy upper bounds on the total cross-section, among others, are also obtained for an arbitrary flat (noncompact) dimension of NC space-time.

研究の動機と目的

• 非可換量子場理論（NC QFT）における全断面積の高エネルギー上限を確立すること、特に空間-空間非可換性の文脈において。
• 通常の可換 QFT で知られている Froissart-Martin 界が、ローレンツ不変性を破るが、並進不変性を保つ非局所的 NC QFT に拡張可能かどうかを調査すること。
• 散乱振幅の解析性およびユニタリティ構造が高エネルギー界を許容するための運動学的条件（例えば、入射運動量と NC 平面の相対的向き）を同定すること。
• 任意次元 NC 時空への一般化を試み、偶数次元と奇数次元の違いを明確にすること。
• 非局所性と角変数の増加により、部分波振幅に対する単純なユニタリティ制約が得られない状況において、界を導出する課題を解決すること。

提案手法

• SO(1,1)×SO(2) 対称性を有する NC QFT に対して、Jost-Lehmann-Dyson 表現を適応し、非可換構造に適合した因果律およびスペクトル条件を用いる。
• 有限な非局所的範囲を (x₁,x₂) 平面に反映させる新しい物理的因果律条件（式 3.39）を導入し、即時伝播を防ぎ、cosΘ における解析性を回復する。
• Wightman-Vladimirov-Petrina 定理を用いて、新しい因果律条件が可換 QFT の標準的条件と形式的に同等であることを証明する。
• 散乱振幅が cosΘ における Lehmann 楕円で解析的であることを確立し、可換 QFT と同様の分散関係を適用可能にする。
• 部分波振幅に対するユニタリティ制約を適用し、全断面積、微分断面積、非フォワード振幅の界を導出する。
• 結果を D 次元 NC 時空に一般化し、特に偶数次元と奇数次元における挙動の相違を特定する。特に、追加の角変数の出現に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間-空間非可換性を有する非可換 QFT において、Froissart-Martin 界を厳密に導出できるか？
• RQ2 どのような運動学的条件下（例えば、入射運動量が NC 平面に対してどの向きにあるか）で、cosΘ における散乱振幅の解析接続領域が高エネルギー界の導出に十分であるか？
• RQ3 奇数次元 NC 時空において、Lehmann 楕円が存在するにもかかわらず、Froissart 界の標準的導出が失敗するのはなぜか？
• RQ4 一般に、入射運動量が NC 平面に直交しない場合、たとえ弱い界（例：Greenberg-Low 型）であっても得られるか？
• RQ5 奇数次元における追加の角変数の存在が、部分波振幅に対するユニタリティ制約および断面積界の導出可能性にどのように影響するか？

主な発見

• 有限な非局所性を (x₁,x₂) 平面に反映させる新しい因果律条件（式 3.39）を導入し、cosΘ における散乱振幅の解析性を回復した。
• 散乱振幅が cosΘ における Lehmann 楕円で解析的であることが証明され、可換 QFT と同様に分散関係を適用可能となった。
• 全断面積に対する Froissart-Martin 界は、入射運動量が非可換平面に直交する場合にのみ（式 4.47）厳密に導出された。
• 同様の界は、直交する運動量配置における非フォワード散乱振幅（式 4.48）および微分断面積（式 4.49）に対しても得られた。
• 偶数次元 NC 時空では、入射運動量が有効な「磁気的」ベクトル β に平行である場合に、類似の界が導出された（式 5.54–5.56）。
• 奇数次元 NC 時空では、追加の角変数が部分波振幅に対する単純なユニタリティ制約を妨げるため、このような界は得られなかった。