[論文レビュー] Journal of Intelligent Materials Systems and Structures / High-order mixed finite elements for an energy-based model of the polarization process in ferroelectric materials

Astrid Pechstein, Martin Meindlhumer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Numerical methods in engineering参考文献 42被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、誘電分極のエネルギーに基づくモデルに対して、高次混合有限要素法を提示する。誘電変位とひずみを主未知数として扱い、残留分極を内部変数として扱う。この手法は正則化された変分式と適合する有限要素法を用い、ガウスの法則を正確に満たす。これにより、すべての場を一度に解くモノリシックニュートン法が可能となり、Netgen/NGSolveを用いた非比例荷重およびマクロファイバー複合材料の均質化の高精度なシミュレーションが実現される。

ABSTRACT

An energy-based model of the ferroelectric polarization process is presented in the current contribution. In an energy-based setting, dielectric displacement and strain (or displacement) are the primary independent unknowns. As an internal variable, the remanent polarization vector is chosen. The model is then governed by two constitutive functions: the free energy function and the dissipation function. Choices for both functions are given. As the dissipation function for rate-independent response is non-differentiable, it is proposed to regularize the problem. Then, a variational equation can be posed, which is subsequently discretized using conforming finite elements for each quantity. We point out which kind of continuity is needed for each field (displacement, dielectric displacement and remanent polarization) is necessary to obtain a conforming method, and provide corresponding finite elements. The elements are chosen such that Gauss’ law of zero charges is satisfied exactly. The discretized variational equations are solved for all unknowns at once in a single Newton iteration. We present numerical examples gained in the open source software package Netgen/NGSolve.

研究の動機と目的

• . 誘電変位とひずみを主未知数とする、熱力学的に整合したエネルギーに基づくフェロエレクトリック分極のモデルを構築すること。
• . 残留分極を、自由エネルギー関数と散逸関数に従う内部変数として組み込むこと。
• . 確率的独立な散逸関数の非微分可能性に対処するための正則化を行い、安定な変分式とニュートン反復を可能にすること。
• . 誘電変位のガウスの法則を正確に満たす高次適合有限要素を設計すること。
• . オープンソースのNGSolveを用いて、非比例荷重およびマクロファイバー複合材料の均質化のシミュレーションを実装・検証すること。

提案手法

• . ひずみ S、誘電変位 D、残留分極 Pi を変数とする自由エネルギー関数 ψ(S, D, Pi) と、確率的独立な挙動を記述する非微分可能な散逸関数を用いてフェロエレクトリック問題を定式化する。
• . 非微分可能な散逸関数を正則化することで、滑らかな変分式とニュートン反復を可能にする。
• . 変位、誘電変位、残留分極のすべてに対して適合する高次有限要素法を用い、適合有限要素法に必要な連続性要件を満たす。
• . 誘電変位にベクトル有限要素を用い、弱い意味で ∇·D = 0（ガウスの法則）を正確に満たす。
• . 全ての未知数を一度のニュートン反復で同時に解く完全結合系の解法を採用する。
• . 高次要素と適応メッシュを用いたオープンソースのNGSolve有限要素パッケージにこの手法を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . どうすれば、誘電変位とひずみを主未知数とする、熱力学的に整合したエネルギーに基づくフェロエレクトリック分極モデルを構築できるか？
• RQ2 . 誘電変位のガウスの法則を正確に満たすために必要な有限要素空間は何か？
• RQ3 . 確率的独立なフェロエレクトリック応答における非微分可能な散逸関数は、どのように正則化できるか？これにより安定なニュートン解法が可能になるか？
• RQ4 . モノリシックニュートンソルバーは、変位、誘電変位、残留分極の完全結合系を効率的に解けるか？
• RQ5 . このモデルは、非比例荷重およびマクロファイバー複合材料の均質化特性をどれほど正確に予測できるか？

主な発見

• . モデルはヒステリシス分極挙動を正確に再現し、完全な極化場での残留分極は 0.255 C/m² に達し、実験的飽和値と一致する。
• . 均質化された圧電定数 d33 は 3.16×10⁻¹⁰ m/V と計算され、[12]の推定値よりわずかに低く、電極付近での非均一な分極と電場のずれが原因である。
• . 均質化された誘電率 ϵT₃₃ は 2003ϵ₀ であり、線形値よりわずかに高く、電場依存性のある誘電応答を示している。
• . 横方向圧電定数 d32 は -1.155×10⁻¹⁰ m/V と計算され、複合材料における強い結合性と非対称性が示された。
• . 一貫した接線剛性とモノリシック解法戦略のおかげで、ニュートン・ラプソン反復が高速収束を示した。
• . 適切なラヴィアル・トーマス型要素を用いた有限要素式により、ガウスの法則 ∇·D = 0 が正確に強制された。