[論文レビュー] Jump-Diffusions in Hilbert Spaces: Existence, Stability and Numerics

Damir Filipović, Stefan Tappe+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無限次元ウィーナー過程および補正付きポアソン確率測度によって駆動されるパス依存係数を有する確率的偏微分方程式（SPDE）の弱解および弱い意味での解の存在、一意性、安定性を確立するために「移動座標系の方法」を導入する。時間に依存する座標変換を用いることで、漂移項を除去し、SPDEをより単純な確率的微分方程式（SDE）に還元する。これにより、一般な条件下（非マルコフ的かつジャンプ・ドリフト設定を含む）で体系的な解析と数値近似が可能となる。

ABSTRACT

By means of an original approach, called "method of the moving frame", we establish existence, uniqueness and stability results for mild and weak solutions of stochastic partial differential equations (SPDEs) with path dependent coefficients driven by an infinite dimensional Wiener process and a compensated Poisson random measure. Our approach is based on a time-dependent coordinate transform, which reduces a wide class of SPDEs to a class of simpler SDE problems. We try to present the most general results, which we can obtain in our setting, within a self-contained framework to demonstrate our approach in all details. Also several numerical approaches to SPDEs in the spirit of this setting are presented.

研究の動機と目的

• パス依存係数および一般のリーヴィノイズ（特にジャンプ・ドリフトを含む）を有するSPDEを統一的に解析するフレームワークの欠如に応えること。
• 無限次元SPDEにおける非可逆な漂移作用素の解析的困難を、時間に依存する変換の導入によって克服すること。
• 非マルコフ的および非線形係数を含む一般な条件下で、弱解および弱い意味での解の存在、一意性、安定性を確立すること。
• 自己完結的かつ汎用的なアプローチを提供し、座標変換によって複雑なSPDEを解けるSDEに還元すること。
• 高次精度の数値スキームの開発を可能とし、大偏差解析およびリッジパス解析を促進すること。

提案手法

• 時間に依存する座標変換 $ r_t \mapsto S_{-t} r_t $ を用い、元のSPDEを漂移項のない変換されたSDEに変換する。
• 変換されたSDEは、動的ダイナミクスがボラティリティおよびジャンプ成分のみに依存する「移動座標系」で解析され、解の解析が簡素化される。
• 変換に不可欠な時間反転を可能とするために、シューフェルヴィ・ナジの定理を用いて擬似収縮半群を群に拡張する。
• 固定点法および変換されたSDEにおける $ L^p $-推定を用いて存在および一意性を確立し、伊藤等長性およびフビニ型定理を活用する。
• 近似列の $ L_T^2(\mathbb{P} \otimes \lambda) $ における収束を用いて安定性結果を導出する。これにはリーマンの優越収束定理およびコーシー列の議論を用いる。
• 数値スキームは、$ V \subset L_T^2(\mu \otimes \lambda) $ における列による変換されたSDEの近似を用いて構築され、ホルダーの不等式および伊藤等長性を用いて収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パス依存係数および一般のリーヴィノイズ（ジャンプおよび無限次元ウィーナー過程を含む）を有するSPDEに対して、弱解および弱い意味での解の存在、一意性、安定性を確立できるか？
• RQ2 負の時間における可逆性を要件としない時間に依存する変換によって、無限次元SPDEの漂移項をどのように除去できるか？
• RQ3 移動座標系における変換されたSDEが解を有するための条件は何か？ その解が逆変換により元のSPDEの弱解に写像可能であるか？
• RQ4 この変換に基づくアプローチから、ジャンプおよびパス依存性を有するSPDEに対して高次精度の数値スキームをどの程度まで導出可能か？
• RQ5 この方法は、大偏差またはリッジパス形式化といった高度な確率的解析をSPDEの文脈でサポートできるか？

主な発見

• 移動座標系の方法により、パス依存係数を有する広範なSPDEクラスが変換空間におけるより単純なSDEに還元され、存在および一意性の結果が得られる。
• シューフェルヴィ・ナジの定理が、擬似収縮半群を群に拡張するために用いられ、変換に不可欠な時間反転を可能にする。
• 変換されたSDEが $ L_T^2(\mathbb{P} \otimes \lambda) $ で一意に解を有することを示し、近似列の収束は $ L^p $-推定およびリーマンの定理を用いて確立される。
• 本稿では、元のSPDEの解が逆変換 $ r_t = S_t f_t $ を用いて回復可能であり、これにより弱解が得られることを証明する。
• 移動座標系におけるSDEへの還元により、高次精度の数値スキームの構築が可能となる。
• このフレームワークは、将来的に大偏差原理およびリッジパス理論への応用が可能であり、変換されたSDEがそのような解析に適した正則性性質を継承している。