[論文レビュー] Jump Type Stochastic Differential Equations with Non-Lipschitz Coefficients and Feller and Strong Feller Properties

Fubao Xi, Chao Zhu|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、非線形成長および非リプシッツ係数を有する多次元ジャンプ型SDEに対して、爆発の不存在、パスワイズ一意性、および非凝集性を確立する。カップリング法を用いて、Feller性および強Feller性を証明し、可 irreducibility および指数的エルゴード性のための条件を導出し、非リプシッツ設定下でのLévy型作用素に対するフェインマン＝カックの公式を提示する。

ABSTRACT

This paper considers multidimensional jump type stochastic differential equations with super linear growth and non-Lipschitz coefficients. After establishing a sufficient condition for nonexplosion, this paper presents sufficient non-Lipschitz conditions for pathwise uniqueness. The non confluence property for solutions is investigated. Feller and strong Feller properties under non-Lipschitz conditions are investigated via the coupling method. Sufficient conditions for irreducibility and exponential ergodicity are derived. As applications, this paper also studies multidimensional stochastic differential equations driven by Levy processes and presents a Feynman-Kac formula for Levy type operators.

研究の動機と目的

• 非リプシッツ係数を有する多次元ジャンプ型SDEにおける爆発の不存在の十分条件を確立すること。
• 解のパスワイズ一意性および非凝集性を保証する非リプシッツ条件を導出すること。
• カップリング法を用いて、非リプシッツ仮定下でのFeller性および強Feller性を検討すること。
• このようなSDEにおける可 irreducibility および指数的エルゴード性のための十分条件を提供すること。
• 非リプシッツ係数を有する多次元Lévy過程によって駆動されるLévy型作用素へのフェインマン＝カックの公式を拡張すること。

提案手法

• リャプノフ型関数またはドリフトおよびジャンプ係数の成長制約を用いて、爆発のための十分条件を構築する。
• 非リプシッツ条件下でのFeller性および強Feller性を確立するために、カップリング法を適用する。
• パスワイズ一意性および非凝集性の議論を用いて、解の長期的挙動を分析する。
• 非リプシッツ力学系下での遷移確率のsupporthの性質を用いて、可 irreducibility を導出する。
• カップリング技法とリャプノフ関数基準を組み合わせることで、指数的エルゴード性を確立する。
• 確率論的手法を用いて、非リプシッツ特性を有するLévy型生成子に対するフェインマン＝カックの公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非リプシッツ条件のもとで、非線形成長を有するジャンプ型SDEが爆発しないのはどのような場合か？
• RQ2 このようなSDEに対して、パスワイズ一意性および非凝集性を保証する条件は何か？
• RQ3 リプシッツ連続性がなくても、Feller性および強Feller性はどのようにして確立できるか？
• RQ4 非リプシッツジャンプ拡散過程において、可 irreducibility および指数的エルゴード性を保証する条件は何か？
• RQ5 非リプシッツ係数を有する場合に、Lévy型作用素に対するフェインマン＝カックの公式を導出できるか？

主な発見

• 非線形成長および非リプシッツ係数を有する多次元ジャンプ型SDEに対して、爆発のための十分条件が確立された。
• 解のパスワイズ一意性および非凝集性を保証する非リプシッツ条件が導出された。
• 非リプシッツ仮定下で、カップリング法を用いてFeller性および強Feller性が証明された。
• 係数およびジャンプ構造に関する十分な条件下で、可 irreducibility および指数的エルゴード性が達成された。
• 多次元Lévy過程によって駆動されるLévy型作用素に対するフェインマン＝カックの公式が導出された。
• 古典的な拡散過程の性質が、非リプシッツ係数を有するより広いクラスのジャンプ拡散SDEへと拡張された。