[論文レビュー] Jumping numbers of analytic multiplier ideals (with an appendix by Sébastien Boucksom)

Dano Kim, Hoseob Seo|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、代数的場合における周期的・離散的挙動とは対照的に、一般の正則シュバルツィアン（psh）関数へのジャンピング数の理論を拡張し、特に2次元におけるトーリックpsh関数のジャンピング数の集積点（極限点）が存在する条件を完全に同定する。ニュートン凸体を用いて、このような集積点がまれではないことを示し、非可算に多くの新しい例を構成する。

ABSTRACT

We extend the study of jumping numbers of multiplier ideals due to Ein-Lazarsfeld-Smith-Varolin from the algebraic case to the case of general plurisubharmonic functions. While many properties from Ein-Lazarsfeld-Smith-Varolin are shown to generalize to the plurisubharmonic case, important properties such as periodicity and discreteness do not hold any more. Previously only two particular examples with a cluster point (i.e. failure of discreteness) of jumping numbers were known, due to Guan-Li and to Ein-Lazarsfeld-Smith-Varolin respectively. We generalize them to all toric plurisubharmonic functions in dimension 2 by characterizing precisely when cluster points of jumping numbers exist and by computing all those cluster points. This characterization suggests that clustering of jumping numbers is a rather frequent phenomenon. In particular, we obtain uncountably many new such examples.

研究の動機と目的

• 代数的特異点から一般の正則シュバルツィアン関数へのジャンピング数理論の一般化を図ること。
• ジャンピング数が解析的設定においても集積点を有するかどうか、特に代数的場合の離散的・周期的挙動とは対照的に、その条件を調査すること。
• 2次元におけるトーリックpsh関数のジャンピング数の集積点が発生する条件を完全に同定すること。
• ジャンピング数集合に集積点を有するpsh関数の非可算に多くの新しい例を構成すること。
• トーリックpsh関数のジャンピング数構造を決定づけるニュートン凸体の役割を明確にすること。

提案手法

• 正則シュバルツィアン関数の乗数イデアルの開性定理を用い、イデアル層のジャンプが発生する点としてジャンピング数を定義する。
• 関連する凸関数とその勾配を用いてトーリックpsh関数を定義し、関数のニュートン凸体と関連付ける。
• ニュートン凸体 $P(\varphi)$ の幾何的性質、特に漸近的挙動および座標軸との交点を用いて、ジャンピング数集合における集積点の存在を同定する。
• Boucksomの付録における定理2.2を適用し、グレード付きイデアル系の漸近的乗数イデアルと関連するSiuの正則シュバルツィアン関数の解析的乗数イデアルとの関係を活用する。
• 乗数イデアルの価値的特徴づけを用いて、漸近的乗数イデアルと構成されたpsh関数の解析的乗数イデアルの等価性を証明する。
• 関連凸関数の勾配の漸近的挙動を分析し、ジャンピング数集合における集積点の位置を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の正則シュバルツィアン関数に付随する乗数イデアルのジャンピング数が集積点を有するかどうか、もしあるならばどのような条件下でそうなるか？
• RQ2 トーリックpsh関数のニュートン凸体の幾何的性質は、そのジャンピング数集合における集積点の存在および位置をどのように決定づけるか？
• RQ3 代数的場合とは対照的に、解析的設定においてジャンピング数の周期性と離散性の欠如がどの程度持続するか？
• RQ4 ジャンピング数集合に集積点を有するpsh関数の例が非可算に存在するか？
• RQ5 2次元におけるトーリックpsh関数について、ジャンピング数の集積点の集合が無限かつ非有界であることは可能か？

主な発見

• 2次元におけるトーリックpsh関数のジャンピング数集合に集積点が存在し、その条件はニュートン凸体 $P(\varphi)$ が座標軸と特定の漸近的性質または交点を持つ場合に限る。
• 本論文は、$P(\varphi)$ の幾何的性質に基づき、集積点の存在とその内容を完全に同定する（定理5.7）。これには、すべての正の整数が集積点である場合も含まれる。
• 具体的な例として、ジャンピング数の集合がちょうど $\{\frac{k}{2} \mid k \in \mathbf{Z}_{>0}\}$ に集積点を有する例が提示され、集積点が稠密に蓄積されることを示している。
• 構成された例では、ジャンピング数の最小の集積点は1であり、$\mathcal{J}(c\varphi) = \mathcal{O}_{\mathbf{C}^2,0}$ を満たす $c \in [0, \frac{1}{2})$ がすべて含まれており、1が最初のジャンプであることが示されている。
• 2次元におけるトーリックpsh関数について、ジャンピング数の集積点の集合は非有界かつ無限であることが示され、特に質問1.1に対して肯定的な答えが得られた。
• 本構成により、ジャンピング数集合に集積点を有する非可算に多くの新しいpsh関数の例が得られ、Guan-LiおよびEin-Lazarsfeld-Smith-Varolinらが知っていた既存の例を一般化した。