[論文レビュー] Jumping Numbers on Algebraic Surfaces with Rational Singularities

Kevin Tucker|ArXiv.org|Jan 4, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有理的特異点をもつ複素代数的表面におけるイデアルのジャンピング数を、固定されたログ解体における削少数例外的 divisor の寄与を分析することによって決定する計算アルゴリズムを提示する。主な貢献は、ジャンピング数に顕著に寄与する divisor チェインを特定する数値的基準を提供することであり、これにより平面曲線や Du Val／トーリック特異点における明示的計算が可能となり、滑らかな表面やイデアルの単純性に関する応用が得られる。

ABSTRACT

In this article, we study the jumping numbers of an ideal in the local ring at rational singularity on a complex algebraic surface. By understanding the contributions of reduced divisors on a fixed resolution, we are able to present an algorithm for finding of the jumping numbers of the ideal. This shows, in particular, how to compute the jumping numbers of a plane curve from the numerical data of its minimal resolution. In addition, the jumping numbers of the maximal ideal at the singular point in a Du Val or toric surface singularity are computed, and applications to the smooth case are explored.

研究の動機と目的

• 有理的特異点をもつ代数的表面におけるイデアルのジャンピング数を体系的に計算するための手法を開発すること。
• ジャンピング数寄与の概念を素数 divisor を超えて、削少数チェーンを含めたものに拡張し、すべてのジャンピング数を捉えることを保証すること。
• どの例外的 divisor チェインがジャンピング数に顕著に寄与するかを特定するための数値的基準を提供すること。
• 平面曲線や滑らかな表面におけるイデアルに対して、この手法を適用しジャンピング数を計算すること、またイデアルの単純性を同定すること。
• 任意の連結な例外的 divisor チェインが、あるイデアルに対してジャンピング数に顕著に寄与しうることを示し、従来の結果を一般化すること。

提案手法

• 乗数イデアル J(X, a^λ) が変化する λ の値としてジャンピング数を定義し、F = -div(a) および相対 canonical divisor K_π をもつログ解体 π: Y → X を用いる。
• G = E₁ + ⋯ + Eₖ を、有理曲線からなる連結なチェーンである削少数 divisor とし、G が λ を寄与させるのは、その真の部分チェーンが寄与しない場合に限るとする「顕著な寄与」の概念を導入する。
• λ が G に対して候補ジャンピング数であるための条件として、すべての i に対して ord_Ei(K_π - λF) が整数であること、そして λ が実際にジャンピング数であるための条件として J(X, a^λ) ≠ π_*O_Y(⌈K_π - λF⌉ + G) が成り立つことを使う。
• 数値的基準を確立：λ が G によって顕著に寄与されるのは、G の端点が −⌊λF⌋·E = 1 を満たし、内部ノードが −⌊λF⌋·E′ = 0 を満たすときである。
• 接続公式を用いて基準を簡略化し、⌊λF⌋ と例外的 divisor 間の交差数をチェックするだけでよいように還元する。
• 2次元正則局所環における完全イデアルの Zariski-Lipman 理論を活用し、双対基底 {Ê_i} を用いてイデアルおよびその Rees の値を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的表面特異点上のイデアルに対して、どの削少数例外的 divisor がジャンピング数に顕著に寄与するか？
• RQ2 平面曲線の最小解体の数値的データから、ジャンピング数をどのようにアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ3 例外的 divisor の連結なチェインがジャンピング数に顕著に寄与する正確な条件は何か？
• RQ4 すべての連結な例外的 divisor チェインが、あるイデアルに対してジャンピング数に顕著に寄与しうることを示せるか？
• RQ5 有限余長の完全イデアルの単純性と、1 がそのイデアルのジャンピング数として現れるかどうかの関係は何か？

主な発見

• すべてのジャンピング数は、ある削少数例外的 divisor G によって顕著に寄与され、このような G は滑らかな有理曲線からなる連結なチェインでなければならない。
• ジャンピング数 λ が削少数 divisor G によって顕著に寄与されるのは、G の端点が −⌊λF⌋·E = 1 を満たし、内部ノードが −⌊λF⌋·E′ = 0 を満たすとき、かつそのときに限り、成り立つ。
• 平面曲線に対しては、最小解体上の交差数の有限個の不等式をチェックすることでジャンピング数を計算できる。
• Du Val もしくはトーリック特異点における極大イデアルは、このアルゴリズムによって明示的にジャンピング数が計算可能である。
• 滑らかな表面の局所環における有限余長の完全イデアルは、1 がそのジャンピング数でないときかつそのときに限り単純である。
• 任意の連結な例外的 divisor チェインは、あるイデアルに対してジャンピング数に顕著に寄与しうることを示せ、特に2つの単純イデアルの積に対しては1がそのジャンピング数である。