[論文レビュー] Junction Conditions for Signature Change

Sean A. Hayward|ArXiv.org|Mar 29, 1993

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 19

ひとこと要約

この論文は一般相対性理論における時空計量の符号変化のための厳密な接合条件を確立し、リッチテンソルが適切に定義され、場の運動方程式が一貫しているためには、接合表面における第二基本形式が消える必要があることを示している。ドレイらおよびエリスらの以前の手法の誤りを是正し、キーン＝ゴルドン方程式およびアインシュタイン＝キーン＝ゴルドン方程式を満たすのは、符号変化点で運動量が消える解に限られることを証明することで、初期データに厳密な制約が課されることを示している。

ABSTRACT

The change of signature of a metric is explained using simple examples and methods. The Klein-Gordon field on a signature-changing background is discussed, and it is shown how the approach of Dray et al.\ can be corrected to ensure that the Klein-Gordon equation holds. Isotropic cosmologies are discussed, and it is shown how the approach of Ellis et al.\ can be corrected to ensure that the Einstein-Klein-Gordon equations hold. A straightforward calculation shows that a well defined Ricci tensor requires the standard junction condition, namely vanishing of the second fundamental form of the junction surface.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における計量符号変化の既存の取り扱いに生じる不整合を解消すること。
• 符号変化超曲面上でのキーン＝ゴルドン方程式およびアインシュタイン＝キーン＝ゴルドン方程式の正しい接合条件を明確にすること。
• 標準的な接合条件（第二基本形式の消滅）が、リッチテンソルが適切に定義されるために必要であることを示すこと。
• ドレイらおよびエリスらの手法が、接合部での場の運動方程式が成立しないことを示した誤った手法を是正すること。
• 符号変化が初期データに強い制約を課することを示し、たとえば接合部での運動量が消えることなど、そのような解は一般には得られず、物理的に制限的であることを明らかにすること。

提案手法

• 1次元の玩具モデルを用い、計量 $ g_{tt} = t $ を用いて、共変形式および偏微分形式のキーン＝ゴルドン方程式を分析する。
• 座標に基づく計算を適用し、リッチテンソルが接合部で適切に定義されるのは第二基本形式が消える場合に限ることを示す。
• 解の漸近的挙動を分析することで、$ t = 0 $ における場の運動方程式の数学的整合性を持つ形式を特定する。
• リッチテンソルが適切に定義されるという要請から、接合部 $ t = 0 $ における接合条件 $ rac{d heta}{dt} = 0 $ を導出する。これは第二基本形式の消滅に等しい。
• キーン＝ゴルドン方程式の異なる表現形（共変形式、偏微分形式、絶対値形式、符号関数）を比較し、整合的な解を生じる形式を同定する。
• 保存則形式 $ 0 = abla^a T_{ab} $ を用いて $ ( heta')^2 = c t $ を導出し、$ t $ が符号を変えることと $ ( heta')^2 \geq 0 $ であることから $ c = 0 $ が得られ、結果として $ t = 0 $ で $ heta' = 0 $ となる。これにより接合条件が強制される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空計量の符号が変化する際、キーン＝ゴルドン方程式に適切な接合条件は何か？
• RQ2 ドレイらおよびエリスらの過去の手法が、符号変化下で有効な解を生じないのはなぜか？
• RQ3 符号変化超曲面上でもリッチテンソルが適切に定義されるにはどうすればよいか？
• RQ4 符号変化は場の運動方程式の初期データにどのような制約を課えるか？
• RQ5 接合条件 $ K_{ab} = 0 $（第二基本形式の消滅）は、アインシュタイン＝キーン＝ゴルドン方程式の整合性を保つために必要か？

主な発見

• リッチテンソルが符号変化超曲面上で適切に定義されるためには、接合条件 $ K_{ab} = 0 $（第二基本形式の消滅）が必要である。
• キーン＝ゴルドン方程式に対しては、$ t = 0 $ で $ rac{d heta}{dt} = 0 $ となる解のみが運動方程式を満たすため、接合部に非自明な運動量を持つ解は除外される。
• ドレイらが提唱した解 $ heta' = A|t|^{1/2} $ は、リッチテンソルが発散し、場の運動方程式を破るため、無効である。
• 保存則形式から導かれる条件 $ ( heta')^2 = c t $ は、$ t $ が符号を変えることと $ ( heta')^2 \geq 0 $ であることから $ c = 0 $ を強制し、結果として $ t = 0 $ で $ heta' = 0 $ となる。
• 接合条件 $ heta' = 0 $ は、第二基本形式の消滅という標準的要請と等価であり、微分幾何学との整合性を確認している。
• 符号変化は、強い制約を課えるため、古典的には安定な現象ではなく、それが観測宇宙論に現れない理由を説明できる可能性がある。