[論文レビュー] $K_0$ of purely infinite simple regular rings

Pere Ara, K. R. Goodearl+1 more|ArXiv.org|Nov 6, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、C*-代数におけるCuntzの概念を代数的文脈に拡張し、完全に無限大な単純な環の概念を導入する。この環のGrothendieck群 $K_0$ が $K_0(R)^+ = K_0(R)$ を満たすことを確立し、自由代数の普遍局所化を用いた明示的例を構成することで、任意の可算アーベル群が完全に無限大な単純な正則環の $K_0$ として実現可能であることを証明する。

ABSTRACT

We extend the notion of a purely infinite simple C*-algebra to the context of unital rings, and we study its basic properties, specially those related to K-Theory. For instance, if $R$ is a purely infinite simple ring, then $K_0(R)^+= K_0(R)$, the monoid of isomorphism classes of finitely generated projective $R$-modules is isomorphic to the monoid obtained from $K_0(R)$ by adjoining a new zero element, and $K_1(R)$ is the abelianization of the group of units of $R$. We develop techniques of construction, obtaining new examples in this class in the case of von Neumann regular rings, and we compute the Grothendieck groups of these examples. In particular, we prove that every countable abelian group is isomorphic to $K_0$ of some purely infinite simple regular ring. Finally, some known examples are analyzed within this framework.

研究の動機と目的

• C*-代数における完全に無限大な単純C*-代数の概念を、ユニタル環へと拡張し、重要なK理論的性質を保つこと。
• 完全に無限大な単純な正則環の例を構成するための新しい代数的技法を開発すること。
• これらの環のGrothendieck群 $K_0$ を計算し、任意の可算アーベル群が $K_0(R)$ として実現可能であることを示すこと。
• 既知の構成（例えばSchofieldおよびRosenmann-Rossetのもの）と、新しい普遍局所化による構成との間の同型を確立すること。

提案手法

• CuntzのC*-代数における条件を一般化して、非ゼロの有限射影が存在しないことを保証する方法により、完全に無限大な単純な環を定義する。
• 特定の右 $R$-加群準同型 $R \to R^{n+1}$ を逆にする普遍局所化を用いる。ここで、左乗法による列ベクトル $(x_0, \dots, x_n)^T$ によるものである。
• 非可換形式的級数の部分環で、ねじれ微分作用素に関して閉じたものとして、Leavitt代数 $V_{1,n}$ の拡張として代数を構成する。
• 非可換関係を取り扱うための技術的道具として、自由に独立な不定元を用いたねじれ多項式環を用いる。
• 指定された $K_0$ 群と整合性のある準同型を持つ代数の帰納的極限を用いて、任意の可算アーベル $K_0$ 群を実現する。
• Morita同値およびコーナー環技法を用いて、$K_0$-保存写像の成分をターゲット代数に埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数から一般のユニタル環へ完全に無限大な単純性の概念を意味的に拡張できるか？
• RQ2 完全に無限大な単純な環の $K_0$ および $K_1$ 群は、C*-代数の場合と同様の構造的パターンに従うか？
• RQ3 任意の可算アーベル群は、完全に無限大な単純な正則環の $K_0$ として実現可能か？
• RQ4 SchofieldやRosenmann-Rossetの既知の構成は、自由代数の普遍局所化によって得られる代数と同型か？
• RQ5 普遍局所化およびねじれ微分作用素は、指定された $K_0$ 群を持つ代数を構成する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の可算アーベル群は、$K_0$-保存写像を備えた代数の帰納的極限を用いることで、完全に無限大な単純な正則 $k$-代数 $R$ の $K_0(R)$ として実現可能である。
• $V_{1,n}$-型の拡張から構成された代数の $K_0$ 群は、常に位数 $n$ の巡回群である。
• $K_0$ が有限巡回群であるとき、これらの環上の有限生成射影的加群はすべて自由である。
• 非可換形式的級数の部分環の普遍局所化によって得られる代数は、SchofieldおよびRosenmann-Rossetのものと同型であり、2つの同等な構成が確立される。
• 有限生成射影的加群の同型類のモノイドは、$K_0(R)$ に零元を加えたものと同型である。
• 完全に無限大な単純な環の $K_1$ 群は、その単元群のアーベル化である。