[論文レビュー] K_1 of some Iwasawa algebras

Mahesh Kakde|arXiv (Cornell University)|May 22, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{Z}_p$ に同型な商を持つ1次元コンパクトな $p$-進 Lie 群 $\mathcal{G}$ に対する Iwasawa 環の Whitehead 群 $K_1$ を、Oliver と Taylor の整数対数を用いて計算する。$K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$ と $\mathcal{G}$ の単数群およびアーベル化との関係を示す正確な系列を確立し、Ore 集合 $S$ における局所化が重要な構造的性質を保つことを証明し、Kato や Hara の先行結果を一般化する。

ABSTRACT

Noncommutative Iwasawa theory has created a lot of interest in Whitehead groups of Iwasawa algebras of compact p-adic Lie groups with a quotient isomorphic to the additive group of p-adic integers. In this paper we compute Whitehead groups of Iwasawa algebra of a pro-p compact p-adic Lie group of dimension one. We also give results on Whitehead groups of the localisation of such Iwasawa algebras at the canonical Ore set defined by Coates, Fukaya, Kato, Sujatha and Venjakob.

研究の動機と目的

• 次元1で $\mathcal{G}/H \cong \mathbb{Z}_p$ を満たすコンパクトな $p$-進 Lie 群 $\mathcal{G}$ に対する Whitehead 群 $K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$ を記述すること。
• Kato や Hara、Kakde が Iwasawa 環の $K_1$ に対して得た結果を、このクラスの群へ一般化すること。
• Coates らが定義した Ore 集合 $S$ を用いて、局所化された Iwasawa 環 $\Lambda_O(\mathcal{G})_S$ の構造を分析すること。
• 整数対数を主要な道具として用い、$K_1$、単数群、$\mathcal{G}$ のアーベル化を含む正確な系列を確立すること。

提案手法

• 対称的2次コホモロジー $\tau$ を用いて、Iwasawa 環 $\Lambda_O(\mathcal{G})$ をねじれ群環 $\Lambda_O(\Gamma^{p^e})[G]^\tau$ として表現する。
• Ore 集合 $S$ を、$\Lambda_O(\mathcal{G})/\Lambda_O(\mathcal{G})f$ が $O$-加群として有限生成であるような元 $f$ の集合として定義する。
• ねじれ群環内の元の対数と $\beta^G$-写像の像を用いて、整数対数写像 $\mathcal{L}: \Phi^G \to \psi^G$ を構成する。
• $\theta^G$、$\beta^G$、$\mathcal{L}$ を含む可換図式を用い、$K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$ を単数群およびアーベル化と関連付ける。
• $T = \Lambda_O(\Gamma^{p^e}) \setminus p\Lambda_O(\Gamma^{p^e})$ における局所化 $\Lambda_O(\mathcal{G})_T$ が $\Lambda_O(\mathcal{G})_S$ に同型であることを証明し、局所化技法の適用を可能にする。
• 可換図式に五つの補題を適用し、$K_1$ と $\Phi^G$ の構造を含む系列の正確性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元1で $\mathcal{G}/H \cong \mathbb{Z}_p$ を満たすコンパクトな $p$-進 Lie 群 $\mathcal{G}$ に対して、$K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$ の構造は何か？
• RQ2 Oliver と Taylor の整数対数は、Iwasawa 環の $K_1$-群とどのように関係するか？
• RQ3 $\theta^G: K_1(\Lambda_O(\mathcal{G})) \to \Lambda_O(\Gamma^{p^e})[\mathrm{Conj}(G)]^\tau$ の像は何か？
• RQ4 Ore 集合 $S$ における局所化は、Iwasawa 環の $K_1$ と単数群の構造にどのように影響するか？
• RQ5 関連する Ore 集合 $T$ に対して、局所化写像 $\Lambda_O(\mathcal{G})_T \to \Lambda_O(\mathcal{G})_S$ は同型か？

主な発見

• $\theta^G: K_1(\Lambda_O(\mathcal{G})) \to \Lambda_O(\Gamma^{p^e})[\mathrm{Conj}(G)]^\tau$ は $\beta^G$ の像へ全射であり、核は $\mu(O) \times \mathcal{G}^{ab}$ に同型である。
• 正確な系列 $1 \to \mu(O) \times \mathcal{G}^{ab} \to \Phi^G \xrightarrow{\mathcal{L}} \psi^G \xrightarrow{\omega} \langle(-1)^{p-1}\rangle \times \mathcal{G}^{ab} \to 1$ が成り立ち、$\mathcal{L}$ は整数対数を用いて定義される。
• $T = \Lambda_O(\Gamma^{p^e}) \setminus p\Lambda_O(\Gamma^{p^e})$ における局所化 $\Lambda_O(\mathcal{G})_T$ は $\Lambda_O(\mathcal{G})_S$ に同型であるため、$S$-局所化は $T$-局所化と同値である。
• $\theta^G_S$ の $\Phi^G_S$ 内の像は $\Phi^G_S$ に含まれ、さらに $\Phi^G_S \cap \prod_{P \in C(G)} \Lambda_O(U_P)^\times = \mathrm{Im}(\theta^G)$ が成り立つ。これは局所化と整合することを示している。
• $K_1$、$\theta^G$、$\beta^G$、$\mathcal{L}$ を含む可換図式に五つの補題を適用し、$K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$ が $\omega \circ \mathcal{L}$ の核に同型に写像されることを証明した。
• この結果は、Kato や Hara の先行研究を一般化し、$\mathcal{G}/H \cong \mathbb{Z}_p$ を満たすすべての1次元 $p$-進 Lie 群へ $K_1$-計算を拡張する。