[論文レビュー] k-apices of minor-closed graph classes. II. Parameterized algorithms

Ignasi Sau, Giannos Stamoulis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Advanced Graph Theory Research被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、与えられたグラフがマイナー閉じたグラフクラスのk-エイプスであるかどうかを決定するための固定パラメータ動的アルゴリズムを提示する。実行時間は $2^{ ext{poly}(k)} ullet n^3$ であり、グラフクラスがエイプスグラフをマイナーとして含まない場合には、$2^{ ext{poly}(k)} ullet n^2$ に改善される。この手法は、反復圧縮、無関係な頂点技術、および構造的グラフ理論（平坦な壁と分岐の議論を含む）を組み合わせ、パrameterized 複雑性枠組み内で効率的に問題を解く。

ABSTRACT

Let ${\\cal G}$ be a minor-closed graph class. We say that a graph $G$ is a $k$-apex of ${\\cal G}$ if $G$ contains a set $S$ of at most $k$ vertices such that $G\\setminus S$ belongs to ${\\cal G}$. We denote by ${\\cal A}_k ({\\cal G})$ the set of all graphs that are $k$-apices of ${\\cal G}.$ In the first paper of this series we obtained upper bounds on the size of the graphs in the minor-obstruction set of ${\\cal A}_k ({\\cal G})$, i.e., the minor-minimal set of graphs not belonging to ${\\cal A}_k ({\\cal G}).$ In this article we provide an algorithm that, given a graph $G$ on $n$ vertices, runs in $2^{{\\sf poly}(k)}\\cdot n^3$-time and either returns a set $S$ certifying that $G \\in {\\cal A}_k ({\\cal G})$, or reports that $G \ otin {\\cal A}_k ({\\cal G})$. Here ${\\sf poly}$ is a polynomial function whose degree depends on the maximum size of a minor-obstruction of ${\\cal G}.$ In the special case where ${\\cal G}$ excludes some apex graph as a minor, we give an alternative algorithm running in $2^{{\\sf poly}(k)}\\cdot n^2$-time.

研究の動機と目的

• 与えられたグラフがマイナー閉じたグラフクラスのk-エイプスであるかどうかを判定するパrameterized アルゴリズムを開発すること、すなわち、高々k個の頂点を削除することでそのクラスに属するグラフが得られるかどうかを同定すること。
• この目的を達成するため、実行時間を $2^{\text{poly}(k)} \cdot n^3$ に抑えること。ここで多項式の次数はグラフクラスのマイナー障害集合のサイズに依存する。
• グラフクラスがエイプスグラフをマイナーとして含まない場合、実行時間を $2^{\text{poly}(k)} \cdot n^2$ に改善すること。
• マイナー閉じた設定におけるさまざまなグラフ修正問題に適用可能な一般化可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• k-エイプス問題を、解集合のサイズが高々kであると仮定する圧縮版に還元するため、反復圧縮を用いる。
• 平坦な壁の構造的性質に基づいて、解の存在に影響しない頂点（無関係な頂点）を同定し、削除する無関係な頂点技術を用いる。
• 平坦な壁定理を適用して、分岐と削減を効率的に行える構造化された形にグラフを分解する。
• 同型の壁とペインティングに関する組合せ的結果を活用して、平坦な壁構造およびその表現を同定する。
• グラフが大きなクリークマイナーを含まない場合、幅が小さい木幅分解における動的計画法を適用する。
• これらの技術を、マイナー障害集合のサイズが有界であることに起因する探索空間の制限に利用する分岐戦略と組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マイナー閉じたグラフクラスにおけるk-エイプス問題に対して、$2^{\text{poly}(k)} \cdot n^3$ の実行時間で実行可能な固定パラメータ動的アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 どのような条件下で実行時間を $2^{\text{poly}(k)} \cdot n^2$ に改善できるか？
• RQ3 マイナー閉じたグラフクラスおよび平坦な壁構造の文脈において、無関係な頂点技術を効果的に適用する方法は何か？
• RQ4 平坦な壁定理と木幅分解が、k-エイプス問題に対する効率的なパrameterized アルゴリズムの実現に果たす役割は何か？
• RQ5 このアルゴリズムフレームワークは、マイナー閉じた設定における他のグラフ修正問題に一般化可能か？

主な発見

• 本稿では、多項式の次数がグラフクラスにおけるマイナー障害の最大サイズに依存する $2^{\text{poly}(k)} \cdot n^3$ 時間でk-エイプス問題を解くアルゴリズムを提示する。
• エイプスグラフをマイナーとして含まないグラフクラスに対しては、$2^{\text{poly}(k)} \cdot n^2$ 時間で実行され、線形要因の改善が達成される。
• アルゴリズムは反復圧縮を用いて問題を圧縮版に還元し、その後、無関係な頂点技術と平坦な壁分解の組み合わせによって解く。
• 平坦な壁による構造的分解により、大きなクリークマイナーを避けることができ、幅が小さい木幅分解における効率的な動的計画法の適用が可能になる。
• アルゴリズムは、有限個のフォリオと制御された分岐プロセスに依存しており、指数的依存はkおよびクラスパラメータに限定される。
• 本研究は、マイナー閉じたグラフクラスにおけるk-エイプス問題を、強いパrameterized 効率性を伴って解くための一般化可能なフレームワークを確立した。