[論文レビュー] K-classes of Brill-Noether loci and a determinantal formula

Dave Anderson, Linda Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、321を避ける置換に関連する退化局所のK理論的クラスの新しい行列式公式を確立し、最大2つのマークされた点をもつブリル-ノイター局所の正則オイラー標数（算術的 genus）の計算に応用する。主な貢献は、古典的なカステルヌーヴォ（ρ=0）およびアイゼンバード＝ハリス／ピロラ／チャン＝マルティン＝プルーガー＝タイクシドール（ρ=1）の結果を回復する統一的な公式であり、パイプドリームの双対写像を通じて、二重グローテンディーク多項式およびフラグ付きスケュー・テーブルックスへと拡張される。

ABSTRACT

We compute the Euler characteristic of the structure sheaf of the Brill-Noether locus of linear series with special vanishing at up to two marked points. When the Brill-Noether number $ρ$ is zero, we recover the Castelnuovo formula for the number of special linear series on a general curve; when $ρ=1$, we recover the formulas of Eisenbud-Harris, Pirola, and Chan-Martín-Pflueger-Teixidor for the arithmetic genus of a Brill-Noether curve of special divisors. These computations are obtained as applications of a new determinantal formula for the K-theory class of certain degeneracy loci. Our degeneracy locus formula also specializes to new determinantal expressions for the double Grothendieck polynomials corresponding to 321-avoiding permutations, and gives double versions of the flagged skew Grothendieck polynomials recently introduced by Matsumura. Our result extends the formula of Billey-Jockusch-Stanley expressing Schubert polynomials for 321-avoiding permutations as generating functions for flagged skew tableaux.

研究の動機と目的

• 321を避ける置換から生じる退化局所のK理論的クラスの一般化された行列式公式の開発。
• この公式を用いて、曲線上の1つまたは2つのマークされた点における特別な消失条件をもつブリル-ノイター局所の正則オイラー標数の計算。
• 零次元および一次元の場合（ρ=0およびρ=1）におけるブリル-ノイター局所の算術的種数の既存の公式を統一・一般化すること。
• 321を避ける置換に関連する二重シューベルト多項式および二重グローテンディーク多項式の新しい行列式表現の確立。
• シューベルト多項式とフラグ付きスケュー・テーブルックスの間のビルレー＝ジョックシュシュスタインの対応を、グローテンディーク多項式の設定へと拡張すること。

提案手法

• 321を避ける置換データをもつベクトルバンドルの写像によって定義される退化局所のK理論的クラスの新しい行列式公式の導出。
• 極限線形系列の幾何学と2点付きのブリル-ノイター定理を用いて、一般の2点付き曲線上の局所を退化局所としてモデル化。
• 321を避ける置換のためのフラグ付き集合値テーブュルックスとパイプドリームの間の重みを保つ双対写像の構成。これは既知の結果を一般化する。
• この双対写像を活用し、フラグ付き集合値テーブュルックスの母関数とパイプドリーム単項式を通じて二重グローテンディーク多項式を関連付ける。
• 一般公式を特殊化して、ρ=0およびρ=1の場合の既知の種数公式を回復し、二重グローテンディーク多項式の新しい表現を得る。
• 公式を用いて、1つまたは2つの点における指定された消失条件をもつブリル-ノイター局所の構造層のオイラー標数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 321を避ける置換に関連する退化局所のK理論的クラスは、どのように行列式公式として表現できるか？
• RQ2 一般の曲線上の1つまたは2つのマークされた点における指定された消失条件をもつブリル-ノイター局所の構造層の正則オイラー標数は何か？
• RQ3 新しい行列式公式は、ρ=0における古典的なカステルヌーヴォの公式と、ρ=1におけるアイゼンバード＝ハリス／ピロラ／チャン＝マルティン＝プルーガー＝タイクシドールの公式を回復できるか？
• RQ4 フラグ付き集合値テーブュルックスとパイプドリームの間の双対写像は、ビルレー＝ジョックシュシュスタインの結果をグローテンディーク多項式の設定へとどのように拡張するか？
• RQ5 この枠組みから、二重グローテンディーク多項式に対してどのような新しい行列式表現が得られるか？

主な発見

• 本稿は、321を避ける置換によって定義される退化局所のK理論的クラスの新しい行列式公式を提供し、シューベルト計算における既存の結果を一般化する。
• ブリル-ノイター数ρ=0の場合に、一般曲線上の特別線形系列の数を表すカステルヌーヴォの公式を回復する。
• ρ=1の場合、アイゼンバード＝ハリス、ピロラ、およびチャン＝マルティン＝プルーガー＝タイクシドールのブリル-ノイター曲線の算術的種数の公式を再現する。
• 321を避ける置換のためのフラグ付き集合値テーブュルックスとパイプドリームの間の重みを保つ双対写像が確立され、ビルレー＝ジョックシュシュスタインの対応がグローテンディーク多項式の設定へと拡張される。
• この枠組みにより、321を避ける置換に関連する二重グローテンディーク多項式の新しい行列式表現が得られ、一般の行列式公式の幾何的証明が与えられる。
• 結果として、K理論および退化局所の技法を用いたオスマーの特別線形系列の存在基準の新しい証明が得られる。