[論文レビュー] k-Disjunctive cuts and a finite cutting plane algorithm for general mixed integer linear programs

Markus Jörg|ArXiv.org|Jul 26, 2007

Vehicle Routing Optimization Methods被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般の混合整数線形計画問題（MILP）に対する有限収束を可能にするために、複数項の論理和に基づくsplit cutの一般化であるk-分離切断を導入する。k-分離切断とGomory混合整数切断を組み合わせることで、従来のsplit cutアプローチが一般MILPに対して有限収束を保証できないという問題を解決し、有限収束を達成するアルゴリズムを確立する。

ABSTRACT

In this paper we give a generalization of the well known split cuts of Cook, Kannan and Schrijver to cuts which are based on multi-term disjunctions. They will be called k-disjunctive cuts. The starting point is the question what kind of cuts is needed for a finite cutting plane algorithm for general mixed integer programs. We will deal with this question in detail and derive cutting planes based on k-disjunctions related to a given cut vector. Finally we will show how a finite cutting plane algorithm can be established using these cuts in combination with Gomory mixed integer cuts.

研究の動機と目的

• 一般混合整数線形計画問題（MILP）に対して、split cutが有限収束を保証できないという問題を解決すること。
• 複数項の論理和（k-論理和）が、MILPにおける従来のsplit cutよりも強い切断を生み出せるかどうかを調査すること。
• k-分離切断とGomory混合整数切断を組み合わせることで、有限収束を達成する切断平面アルゴリズムを構築すること。
• 与えられた切断ベクトルと双対錐の極端な方向から、k-分離切断を構成的に生成する方法を提供すること。
• k-分離切断が、split cut単体では到達できない場合でも、有限ステップで整数凸包を捉えることができることを示すこと。

提案手法

• k-分離切断を、$\bigvee_{i=1}^k (d_i^T x \leq \delta_i \vee d_i^T x \geq \delta_i + 1)$ の形をとるk項の論理和から導かれる有効な不等式として定義し、split cutを一般化する。
• 整数凸包$P_I$の構造を分析するため、多面体$P$の整数変数への射影$\mathrm{proj}_X(P)$を用いる。
• 双対錐$Q = \{v \in \mathbb{R}^m : G^T v = 0, v \geq 0\}$ 及びその極端な方向$v^r$を用いてk-分離切断を構築する。
• 有限収束を保証するために、最小インデックスルールを用いた辞書式シンプレックス法を切断生成に適用する。
• k-分離切断とGomory混合整数切断を組み合わせることで、特に最適目的関数値が整数である場合に有限収束を保証する。
• 整数計画問題（ILP）の場合、目的関数ベクトルに対してChvátal-Gomory手続きを適用することで、切断を生成し、標準的なGomory切断に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数項の論理和に基づくk-分離切断は、一般MILPの切断平面アルゴリズムにおいて有限収束を保証できるか？
• RQ2 整数凸包$P_I$と多面体$P$のどのような構造的性質が、split cutでは不十分であり、k-分離切断が不可欠となるのか？
• RQ3 与えられた切断ベクトルと双対錐$Q$の極端な方向から、k-分離切断を体系的に生成する方法は何か？
• RQ4 k-分離切断とGomory混合整数切断を組み合わせた場合、どのような条件下で有限収束を達成する切断平面アルゴリズムが得られるか？
• RQ5 k-分離切断は、split cut、混合整数丸め切りカット、Gomoryカットといった既知のカットをどの程度一般化するか？

主な発見

• k-分離切断は、複数項の論理和を許容することでsplit cutを一般化し、従来のsplit cutよりも強い切断を可能にする。
• 本稿では、k-分離切断とGomory混合整数切断を組み合わせることで、一般MILPに対する有限収束アルゴリズムを構築した。
• 整数計画問題（ILP）の場合、目的関数へのk-分離切断はChvátal-Gomory切断に還元され、標準的なGomoryアルゴリズムが回復される。
• 最適目的関数値が整数であり、かつ最小インデックスルールを用いた辞書式シンプレックス法が用いられる場合、有限収束が達成される。
• 双対錐$Q$の極端な方向の数$|R|$は指数関数的に増加するため、k-分離切断の計算は実用上困難である。
• アルゴリズムは、MILPを多面体$P$の$p$次元の面における複数の離散的サブプロブレムの解法として解釈しており、指数的数の分離超平面に基づく切断の必要性を裏付ける。