[論文レビュー] k-Double Schur functions and equivariant (co)homology of the affine Grassmannian

Thomas Lam, Mark Shimozono|arXiv (Cornell University)|May 11, 2011

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ひとこと要約

本稿では、$SL_{k+1}$ のアフィン・グラスマンニアンのホモロジーおよびコホモロジーにおけるトーラス・等化シューベルト類の多項式代表として、$k$-ダブル・シュール関数とアフィン・ダブル・シュール関数を導入する。双対なホップ代数のペアを用いて、これらの対称関数と等化 (co)ホモロジー環との間で、ホップ代数構造および変数の特殊化による等化局在を保つ明示的な同型を確立する。

ABSTRACT

The Schubert bases of the torus-equivariant homology and cohomology rings of the affine Grassmannian of the special linear group are realized by new families of symmetric functions called k-double Schur functions and affine double Schur functions.

研究の動機と目的

• アフィン・グラスマンニアンの $SL_{k+1}$ におけるトーラス・等化シューベルト類の明示的多項式代表を構成すること。
• $φ_{(n)}(y\|a)$ における $k$-ダブル・シュール関数と $λ^{(n)}(x\|a)$ におけるアフィン・ダブル・シュール関数の間の双対性を確立し、$H_T(\mathrm{Gr})$ および $H^T(\mathrm{Gr})$ のシューベルト基底を実現すること。
• 等化シューベルト計算と $k$-シュール関数の二つの見なされがたい理論を統一するため、$k$-ダブル・シュール関数が特殊化によってアフィン・シュール関数および $k$-シュール関数の一般化であることを示すこと。
• 積、コプロダクト、局在性と整合する対称関数による、等化 (co)ホモロジーのホップ代数構造の幾何的実現を提供すること。
• 有限の場合からアフィンの場合へ、ダブル対称関数と等化コホモロジーの関係を拡張し、無限グラスマンニアンの極限を含むこと。

提案手法

• 二つの双対ホップ代数を構成する：$λ^{(n)}(x\|a)$ はダブル対称関数の環の商であり、$φ_{(n)}(y\|a)$ は双対ダブル対称関数の部分代数である。
• $\lambda_1 < n$ を満たす分割によってラベル付けられた、$φ_{(n)}(y\|a)$ における $k$-ダブル・シュール関数 $s^{(k)}_{\lambda}(y\|a)$ と、$λ^{(n)}(x\|a)$ におけるアフィン・ダブル・シュール関数 $\tilde{F}_{\lambda}(x\|a)$ を基底として定義する。
• ホップ同型 $\kappa: \hat{\Lambda}_{(n)}(y\|a) \to H_T(\mathrm{Gr})$ を定義し、$s^{(k)}_{\lambda}(y\|a)$ を等化ホモロジー類 $[X_{w_{\lambda}^{\mathrm{af}}}]_T$ に送る。その双対 $\kappa^*: H^T(\mathrm{Gr}) \to \Lambda^{(n)}(x\|a)$ は、$[X_{w_{\lambda}^{\mathrm{af}}}]^T$ を $\tilde{F}_{\lambda}(x\|a)$ に送る。
• アフィン・グラスマンニアンの GKM 環構造とアフィン・ニルヘッケ代数を用いて、等化 (co)ホモロジーを中心化子部分代数として実現し、ペトロフの特徴付けと関連付ける。
• アフィン・ダブル・スターリング対称関数 $\tilde{F}_w(x\|a)$ をアフィン・ダブル・シュール関数の一般化として定義し、アフィン対称群における既約因数分解とその関係を示す。
• 忘却写像 $\mathbb{Q}[a_1,\dots,a_m] \to \mathbb{Q}[a_1,\dots,a_n]$ による分岐手続きを実装し、$a_{i+kn} \mapsto a_i$ とし、$λ^{(m)}(x\|a)$ を $λ^{(n)}(x\|a)$ に還元する。展開係数は等化 $k$-コスタ行列を用いて計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ代数構造を保ちつつ、アフィン・グラスマンニアンの等化ホモロジーおよびコホモロジーのシューベルト基底を同時に実現する対称関数の族を構成できるか？
• RQ2 等化パラメータを特殊化したとき、$k$-ダブル・シュール関数は古典的 $k$-シュール関数およびアフィン・シュール関数とどのように関係するか？
• RQ3 同じ対称関数が、ホップ代数による構造定数と、変数の特殊化による等化局在を両方計算できる幾何的・代数的メカニズムは何か？
• RQ4 無限グラスマンニアン $\mathrm{Gr}_\infty$ の等化コホモロジーはダブル対称関数の環とどのように関係し、アフィンの場合と結びつくか？
• RQ5 $m$ が $n$ の倍数であるとき、$\mathrm{Gr}_{SL_m}$ から $\mathrm{Gr}_{SL_n}$ へのアフィン・ダブル・シュール関数の制限に関する分岐則は何か？

主な発見

• $k$-ダブル・シュール関数 $s^{(k)}_{\lambda}(y\|a)$ とアフィン・ダブル・シュール関数 $\tilde{F}_{\lambda}(x\|a)$ は、$SL_{k+1}$ のアフィン・グラスマンニアンの等化ホモロジーおよびコホモロジー環の双対ホップ代数基底をなしており、$\kappa$ と $\kappa^*$ が明示的な同型を与える。
• 等化パラメータ $a_i$ をゼロに特殊化すると、$k$-ダブル・シュール関数は $k$-シュール関数に、アフィン・ダブル・シュール関数はアフィン・シュール関数に還元され、[Lam06] および [LLM, LM] の既知の結果が回復される。
• シューベルト類の等化局在は、写像 $\epsilon_v$ を通じて $x$-変数を $a$-変数に特殊化することで計算され、これは $T$-固定点への包含写像によるシューベルト類の引き戻しと一致する。
• $\mathrm{Gr}_{SL_m}$ から $\mathrm{Gr}_{SL_n}$ への分岐係数（$m = rn$ または $m = \infty$）は、忘却写像による等化 $k$-コスタ行列の還元と、$\lambda_1 < n$ を満たす分割への制限によって計算され、表 8.3.1–8.3.3 に示されている。
• $n \to \infty$ の極限において、アフィン・ダブル・シュール関数 $\tilde{F}_{\lambda}(x\|a)$ はダブル・シュール関数 $s_\lambda(x\|a)$ に還元され、これは無限グラスマンニアン $\mathrm{Gr}_\infty$ のシューベルト基底と同一視される。
• この構成は第二著者の予想を確認し、ニルヘッケ代数によるアフィン・グラスマンニアンの等化ホモロジーのペトロフの特徴付けを、対称関数代表を用いた等化設定に拡張する。