[論文レビュー] k-Hilfer-Prabhakar Fractional Derivatives and Applications

Satish K. Panchal, Amol D. Khandagale+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 3被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、k-Mittag-Leffler関数を用いて一般化された既存の分数階微積分枠組みを拡張する、k-Hilfer-Prabhakar分数階微分とその正則化版を導入する。これらの作用素に対するラプラス変換およびスムード変換を導出し、物理学における非同次型コーシー問題の解法に応用し、一般化されたk-Mittag-Leffler関数を用いた明示的解が得られる。これにより、Hilfer-Prabhakarおよびk-Prabhakar微積分の既存結果が拡張される。

ABSTRACT

In this paper we define the regularized version of k-Prabhakar fractional derivative, k-Hilfer-Prabhakar fractional derivative, regularized version of k-Hilfer-Prabhakar fractional derivative and find their Laplace and Sumudu transforms. Using these results, the relation between k-Prabhakar fractional derivative and its regularized ver- sion involving k-Mittag-Leffler function is obtained. Similarly the relation between k-Hilfer-Prabhakar fractional derivative and its regularized version is also obtained. Further, we find the solutions of some problems in physics in which k-Hilfer-Prabhakar fractional derivative and its regularized version are involved.

研究の動機と目的

• k-Mittag-Leffler関数を用いて、k-Prabhakar分数階微分の正則化版およびk-Hilfer-Prabhakar分数階微分を定義すること。
• k-Prabhakarおよびk-Hilfer-Prabhakar分数階微分のラプラス変換およびスムード変換を導出すること。
• k-Prabhakar微分とその正則化形との間の解析的関係、およびk-Hilfer-Prabhakar微分とその正則化版との間の関係を確立すること。
• 積分変換技法を用いて、k-Hilfer-Prabhakar微分を含む非同次型コーシー問題を解くこと。
• 既存のHilfer-Prabhakarおよびk-Prabhakar微積分枠組みの結果を一般化すること。

提案手法

• k-Mittag-Leffler関数およびkガンマ関数を用いてk-Prabhakar積分を定義し、リーマン＝リウビル分数階積分を拡張する。
• k-Riemann-Liouville積分と微分作用素の合成としてk-Prabhakar微分を定義し、k-Mittag-Leffler関数を核とする。
• k-Hilfer-Prabhakar微分を、標準的なk-Riemann-Liouville積分をk-Prabhakar積分に置き換えたk-Hilfer微分の一般化として定義する。
• k-Mittag-Leffler関数の性質を用いて、k-Prabhakarおよびk-Hilfer-Prabhakar微分のラプラス変換およびスムード変換を導出する。
• ラプラス変換およびスムード変換を用いて、k-Hilfer-Prabhakar微分およびその正則化版を含む非同次型コーシー問題を解く。
• 逆変換を適用し、一般化されたk-Mittag-Leffler関数およびフーリエ＝ベッセル積分を用いた明示的解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-Prabhakar分数階微分とその正則化形との間の解析的関係は何か？
• RQ2 k-Hilfer-Prabhakar分数階微分はどのように定義され、その正則化形とはどのような関係にあるか？
• RQ3 k-Prabhakarおよびk-Hilfer-Prabhakar分数階微分のラプラス変換およびスムード変換は何か？
• RQ4 k-Hilfer-Prabhakar微分は、数学的物理における非同次型コーシー問題をどのように解くことができるか？
• RQ5 これらの問題の解は、積分変換法を用いて一般化されたk-Mittag-Leffler関数の形で表現可能か？

主な発見

• k-Prabhakar微分のラプラス変換は、$ \frac{(ku)^{\frac{\nu}{k}}}{k} \big(1 - \frac{\nu}{(ku)^{\frac{\nu}{k}}}\big)^{\frac{\nu}{k}} \big(1 - \frac{\nu}{(ku)^{\frac{\nu}{k}}}\big)^{\frac{\nu}{k}} $ として導出され、k-Mittag-Leffler関数を含む。
• k-Prabhakar積分のスムード変換が得られ、既知の結果がkアナログ枠組みに拡張された。
• ラプラス変換およびフーリエ変換を用いて、k-Hilfer-Prabhakar微分を含む非同次型コーシー問題の閉形式解が導出された。
• 微分方程式 $ {}_{k}^{C}\nabla_{\nu,\nu,0^{+}}^{\nu,\nu,\nu} u(x,t) = K \frac{\nu^{2}}{\nu x^{2}} u(x,t) $ の解は、$ u(x,t) = \frac{1}{2k^{2}\nu} \nu_{-\nu}^{\nu} dp\thinspace e^{ipx} \nu g(p) \nu_{n=0}^{\nu} (-K)^{n} p^{2n} t^{\frac{n\nu}{k}} E_{k,\nu,n\nu+k}^{n\nu}(\nu t^{\frac{\nu}{k}}) $ として与えられ、k-Mittag-Leffler関数を含む。
• ラプラス変換およびスムード変換を用いた解法により、同等の結果が得られ、変換手法間の整合性が確認された。
• Hilfer-Prabhakarおよびk-Prabhakar微積分の既存結果が、kアナログ核を有するより広範な分数階作用素のクラスにまで一般化された。