[論文レビュー] Kähler geometry of bounded pseudoconvex Hartogs domains

Yihong Hao, An Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2014

Geometry and complex manifolds被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、定義関数から導かれる自然な完全Kähler計量 $ g^\infty $ を用いて、有界擬凸Hartogs領域のKähler幾何を分析することにより、$ g^\infty $ がKähler-Einsteinまたは極値である条件を確立し、また、Calabiのdiastasis基準と基本領域の曲率解析を用いて、有限次元または無限次元複素空間形式への正則等長埋め込みの存在を同定する。

ABSTRACT

Let $Ω$ be a bounded pseudoconvex Hartogs domain. There exists a natural complete Kähler metric $g^Ω$ in terms of its defining function. In this paper, we study two problems. The first one is determining when $g^Ω$ is Einstein or extremal. The second one is the existence of holomorphic isometric immersions of $(Ω, g^Ω)$ into finite or infinite dimensional complex space forms.

研究の動機と目的

• 有界擬凸Hartogs領域 $ \Omega $ 上の自然なKähler計量 $ g^\infty $ がKähler-Einsteinまたは極値である条件を同定すること。
• 複素ユークリッド、射影的、双曲的空間形式への $ (\Omega, g^\Omega) $ の正則等長埋め込みの存在を特定すること。
• Hartogs領域の幾何的性質が、特に曲率と擬・シュレーディンガー関数を介して、その基本領域 $ D $ の性質とどのように関連するかを明らかにすること。
• Calabiの基準とdiastasis関数を用いて、以前のCartan-Hartogs領域に関する結果を、一般の有界擬凸Hartogs領域へ拡張すること。

提案手法

• 基本領域 $ D $ 上の厳密に擬・シュレーディンガー的で全範囲的である関数 $ \varphi $ を用いて、Kähler潜在関数 $ -\log(\varphi(z) - \|z_0\|^2) $ を用いてKähler計量 $ g^\Omega $ を定義する。
• Calabiのdiastasis基準を適用し、計量潜在関数のテイラー展開から得られるある行列の正定性を検討することで、複素空間形式への正則等長埋め込みの存在を分析する。
• $ -\log\varphi $ が厳密に擬・シュレーディンガー的で $ C^\infty $ であるという条件を用いて、計量が適切に定義されかつ完全であることを保証する。
• Hartogs領域の円対称性を活用することで、diastasisのBochner座標を簡略化し、埋め込み問題を基本領域に還元する。
• 潜在関数から導かれる曲率公式を用いて、$ g^\Omega $ のリッチ曲率およびスカラー曲率を分析し、それがEinsteinまたは極値である条件を特定する。
• Cheng-YauおよびMok-Yauの手法に従い、連続関数法とMonge-Ampère方程式の技術を用いて、自然計量 $ g^\Omega $ がBergman計量およびKähler-Einstein構造とどのように関連するかを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界擬凸Hartogs領域 $ \Omega $ 上の自然計量 $ g^\Omega $ がKähler-Einsteinであるための、基本領域 $ D $ における条件は何か？
• RQ2 自然計量 $ g^\Omega $ が極値であるのはいつか？ これは $ g^\Omega $ のスカラー曲率とリッチ曲率とどのように関係するか？
• RQ3 Hartogs領域 $ (\Omega, g^\Omega) $ は、複素ユークリッド、射影的、または双曲的空間形式への正則等長埋め込みをいつ持つか？
• RQ4 領域 $ (\Omega, g^\Omega) $ の埋め込み性質は、基本領域 $ (D, g^D) $ の埋め込み性質とどのように関連するか？
• RQ5 計量のホモトピーに関連するパラメータ $ h $ は、複素双曲空間への埋め込みの存在にどのように寄与するか？

主な発見

• 有界擬凸Hartogs領域上の自然Kähler計量 $ g^\Omega $ がKähler-Einsteinであるための必要十分条件は、基本計量 $ g^D $ がリッチ曲率 $ -(d+1) $ を持つことである。ここで $ d $ は基本領域の複素次元である。
• 計量 $ g^\Omega $ が極値であるための必要十分条件は、そのスカラー曲率が定数であることであり、これは $ g^D $ がリッチ曲率 $ -(d+1) $ を持つKähler-Einstein計量である場合に限り成立する。
• $ (\Omega, g^\Omega) $ が $ \mathbb{CH}^\infty $ に正則等長埋め込みを持つための必要十分条件は、$ 0 < h < 1 $ の条件下で、$ (D, g^D) $ が $ \mathbb{CH}^N $（$ N \leq \infty $）に同様の埋め込みを持つことである。
• $ h \geq 1 $ の場合、行列 $ C_{z_{01}(i)}(0) $ は半正定でなくなるため、$ \mathbb{CH}^\infty $ への埋め込みは存在せず、したがって任意の有限次元複素双曲空間への埋め込みも存在しない。
• $ (\Omega, g^\Omega) $ は、diastasis展開における正定値行列の非存在を示すことで、任意の有限次元複素空間形式への正則等長埋め込みを持たない。
• $ \mathbb{C}^\infty $ および $ \mathbb{CP}^\infty $ への埋め込みの存在は、基本領域の埋め込み性質とパラメータ $ h $ に依存するが、$ \mathbb{CH}^\infty $ への埋め込みは $ 0 < h < 1 $ の場合にのみ可能である。