[論文レビュー] Kähler manifolds of semi-negative holomorphic sectional curvature

Gordon Heier, Steven Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、特徴的曲率が半負のKähler多様体を、曲率が消える部分空間の最大余次元を測る新しい不変量 $ r_M $ を導入することで調査する。この不変量を用いて、ネフ次元およびコイカラ次元の下界を確立し、このような多様体が有理曲線を含まないこと、および正則標準束がネフであること、さらに曲率が恒等的にゼロである場合には、有限分岐なし被覆に関してアーベル多様体に分類されることを示している。

ABSTRACT

In an earlier work, we investigated some consequences of the existence of a Kähler metric of negative holomorphic sectional curvature on a projective manifold. In the present work, we extend our results to the case of semi-negative (i.e., non-positive) holomorphic sectional curvature. In doing so, we define a new invariant that records the largest codimension of maximal subspaces in the tangent spaces on which the holomorphic sectional curvature vanishes. Using this invariant, we establish lower bounds for the nef dimension and, under certain additional assumptions, for the Kodaira dimension of the manifold. In dimension two, a precise structure theorem is obtained.

研究の動機と目的

• 負の正則的曲率に関する先行結果を半負の状況に拡張すること。
• 正則的曲率が消える接空間内の部分空間の最大余次元を測る新しい不変量 $ r_M $ を定義・分析すること。
• このような多様体のネフ次元について下界を確立し、条件を満たす場合にはコイカラ次元についても同様に下界を確立すること。
• 正則的曲率が恒等的にゼロである多様体が、有限分岐なし被覆に関してアーベル多様体に分類されることを証明すること。
• 精密化されたシュバルツ補題の手法を用いて、先行研究（特に[WWY12]の定理1.3）を回復・一般化すること。

提案手法

• 各点 $ p \in M $ において、接空間 $ T_pM $ 内で正則的曲率が消える部分空間の最大次元を $ \eta(p) $ と定義し、$ r_M = \dim M - \eta_M $ とおく。ここで $ \eta_M = \min_p \eta(p) $ である。
• シュバルツ補題の統合形（命題2.2）を用いて、曲率の挙動および正則写像の性質を分析する。
• 全空間上のKähler形式の分解に、グローバルな $ \partial\bar{\partial} $-補題とクネンプの公式を適用する。
• 与えられたコhomology類内でのKähler-Einstein計量の一意性を用いて、ある種の引き戻し計量が平坦または半負であることを示す。
• 有限分岐なし被覆を構成し、積構造（例：$ C \times F $）に還元し、引き戻し計量を用いて曲率を分析する。
• 部分多様体における曲率減少性を用いて、ファイバー上の誘導計量が半負の正則的曲率をもつことを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則的曲率が半負であるとき、射影的Kähler多様体にどのような構造的制約が生じるか？
• RQ2 正則的曲率が消える部分空間の最大余次元を測る新しい不変量 $ r_M $ は、ネフ次元やコイカラ次元などの幾何的不変量とどのように関係するか？
• RQ3 半負の正則的曲率が、正則標準束がネフまたは大きいことを示すために必要な条件は何か？
• RQ4 正則的曲率が恒等的にゼロである多様体の分類は、既知の例を越えて拡張可能か？
• RQ5 ウー＝ヤウおよびトサッティ＝ヤンによる後続の証明（厳密な負性を仮定）と比較して、本研究の結果はどのように異なるか？

主な発見

• 正則的曲率が半負である射影的Kähler多様体は、有理曲線を含まない。
• このような多様体において正則標準線束 $ K_M $ はネフである。
• 正則的曲率が恒等的にゼロであるとき、$ M $ は有限分岐なし被覆に関してアーベル多様体に一致する。
• 曲率が恒等的にゼロでないとき、$ M $ の数的次元は正である。
• ネフ次元は $ r_M \geq 1 $ であり、$ r_M $ は曲率が消える部分空間の最大余次元として定義される。
• 本研究の結果は、[WWY12]の定理1.3を回復・一般化しており、Picard数が1でかつある点で厳密に負であるという条件を含む。