[論文レビュー] Kähler-Ricci Flow and the Minimal Model Program for Projective Varieties

Paolo Cascini, Gabriele La Nave|ArXiv.org|Mar 2, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、一般型の射影的代数多様体に対するKähler-Ricci流れとMinimal Model Program (MMP) の直接的な関係を確立する。流れが有限時間内に極値線の収縮を検出することを証明し、ネフで大きな標準束を持つ滑らかな最小モデルに対しては、特異的でない部分にわたって滑らかになる極限計量に収束することを示し、CaoのKähler-Einstein計量に関する結果を一般化する。

ABSTRACT

In this note we propose to show that the Kähler-Ricci flow fits naturally within the context of the Minimal Model Program for projective varieties. In particular we show that the flow detects, in finite time, the contraction theorem of any extremal ray and we analyze the singularities of the metric in the case of divisorial contractions for varieties of general type. In case one has a smooth minimal model of general type (i.e., the canonical bundle is nef and big), we show infinite time existence and analyze the singularities.

研究の動機と目的

• 射影的代数多様体に対するKähler-Ricci流れとMinimal Model Program (MMP) の自然な対応を確立すること。
• 極値線の収縮を有限時間での特異点によって検出するKähler-Ricci流れの振る舞いを分析すること。
• 一般型多様体における除法的収縮のケースを含め、流れ下での計量の特異性を研究すること。
• 一般型の滑らかな最小モデルにおいて、正規化されたKähler-Ricci流れがすべての時間に対して存在し、正則性を示すこと。
• canonical model に軌道的特異点がある場合の流れの長期的挙動について、Tianの予想を確認すること。

提案手法

• 時間に依存するKählerポテンシャル変換を用いて、Kähler-Ricci流れをスカラー放物型Monge-Ampère方程式に還元する。
• 正規化された流れ方程式 ∂g/∂t = -Ric(g) - g を用い、初期計量をアーマブルクラス A にとる。
• 基本点自由定理と有理型定理を用いて、極値線に対応する収縮準同型 c: M → M′ を特定する。
• 比較原理と下界関数の構成を用いて、ポテンシャル関数に対する一様なC^0推定を得る。
• 時間に依存する関数 φ(t) を用いて、canonical model 上の極限関数 φ₀ を近似する有界下界関数 u⁻ を構成する。
• canonical model X が canonical または軌道的特異点を持つことを利用して、流れ方程式に対する有界解の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Minimal Model Program が予測するように、Kähler-Ricci流れは有限時間内に極値線の収縮を検出できるか？
• RQ2 一般型多様体に対して、流れの最大存在時間における計量特異点の性質は何か？
• RQ3 ネフで大きな標準束を持つ滑らかな最小モデルにおいて、正規化されたKähler-Ricci流れはすべての時間に対して存在するか？
• RQ4 canonical model にのみ軌道的特異点がある場合、極限計量はどのように振る舞うか？
• RQ5 一般型の曲面のcanonical model において、流れがKähler-Einstein計量にどれほどまで収束するか？

主な発見

• Kähler-Ricci流れは、有理数 r から得られる T = log(r + 1) で有限時間特異点を発生する。
• 一般型多様体に対して、時間 T における計量の特異的集合 S は M の真の部分多様体に含まれる。
• 収縮 c: M → M′ が除法的収縮であり、M′ が滑らかであれば、計量 g(T) は M′ 上に滑らかな計量を誘導する。
• K_M がネフで大きく、滑らかな最小モデルに対して、正規化されたKähler-Ricci流れはすべての時間 t ∈ (0, ∞) に対して存在する。
• t → ∞ の極限で、計量は g₀ + ∂∂̄v の局所的形をとり、v は解析的部分多様体を除いて滑らかな有界関数である。
• 一般型の射影的曲面に対して、流れは有限時間内にcanonical model 上のKähler-Einstein計量に収束し、Caoの結果の一般化を確認する。