[論文レビュー] Kähler-Ricci solitons on horospherical variety

François Delgove|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、滑らかなファノ水平的多様体上のケーラー＝リッチソリトンの存在を、縮小された実マソン＝アムペール方程式に連続的変形法を適用することで確立する。さらに、デュイステルマット＝ヘックマン測度の下でのモーメント多面体の重心を用いて、最良の下界R(M)を計算し、多面体の構造に結びついた幾何的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

In this paper, we extend the result about the existence of Kähler-Ricci soliton on toric manifold (proved by Wang and Zhy) by proving this existence on horospherical varieties using the continuity method.

研究の動機と目的

• K-安定性に依存せずに、解析的手法を用いて滑らかなファノ水平的多様体上でのケーラー＝リッチソリトンの存在を確立すること。
• 王と朱のトーリック多様体におけるアプローチを水平的多様体に拡張し、複素マソン＝アムペール方程式を実方程式に還元すること。
• このような多様体に対する最大のリッチ下界R(M)を計算し、モーメント多面体を用いた幾何的解釈を提供すること。
• 無限個の水平的多様体が非自明なケーラー＝リッチソリトンを有することを示し、非再帰的自己同型群のため、ケーラー＝アインシュタイン計量を有しないこと。
• リッチ下界をデュイステルマット＝ヘックマン測度の下でのモーメント多面体の重心に関連づけ、新たな幾何的不変量を提供すること。

提案手法

• 存在証明は、ソリトン型マソン＝アムペール方程式をケーラー＝アインシュタインの場合からソリトンの場合へ連続的変形する連続的変形法を用いる。
• 水平的多様体の(K×K)-不変構造を用いて、ケーラー＝リッチソリトンのための複素マソン＝アムペール方程式を実マソン＝アムペール方程式に制限する。
• ソリトンベクトル場はFutaki不変量および正則ベクトル場の再帰的リー代数の中心を介して決定される。
• 証明は、C⁰推定と連続的経路の収束に依存し、トーリック設定における王と朱の戦略に従う。
• リッチ下界R(M)は、マソン＝アムペール測度の漸近的挙動と、モーメント多面体上でのデュイステルマット＝ヘックマン測度の台を分析することによって計算される。
• 重要な幾何的条件として、t ∈ ]0,1[ が (t/(t−1))(Bar_DH(Δ⁺) + 2ρ_P) が (Δ⁺ + 2ρ_P) の境界上にあることである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての滑らかなファノ水平的多様体はケーラー＝リッチソリトンを有するか？ もしそうならば、K-安定性に依存せずに証明可能か？
• RQ2 水平的設定におけるソリトンベクトル場は、モーメント多面体の幾何とどのように関係するか？
• RQ3 水平的ファノ多様体に対する最大のリッチ下界R(M)の正確な値は何か？ そしてそれはどのようにモーメント多面体に符号化されるか？
• RQ4 非自明なケーラー＝リッチソリトンの存在は、多様体の非再帰的自己同型群と関連づけられるか？
• RQ5 R(M)は、デュイステルマット＝ヘックマン測度の下でのモーメント多面体の重心を用いた幾何的特徴付けを有するか？

主な発見

• 滑らかなファノ水平的多様体上にケーラー＝リッチソリトンが存在し、実マソン＝アムペール方程式に連続的変形法を適用することで証明された。
• ソリトンベクトル場はFutaki不変量によって一意に決定され、再帰的自己同型代数の中心に位置する。
• 無限個の水平的多様体が非自明なケーラー＝リッチソリトンを有する。非再帰的自己同型群とMatsushimaの障害により、ケーラー＝アインシュタイン計量を有しないことが示された。
• リッチ下界R(M)は、(t/(t−1))(Bar_DH(Δ⁺) + 2ρ_P) が (Δ⁺ + 2ρ_P) の境界上にある唯一の t ∈ ]0,1[ として与えられる。
• R(M)の値は、デュイステルマット＝ヘックマン測度の下でのモーメント多面体Δ⁺の重心によって幾何的に特徴付けられ、Weylベクトルρ_Pに明示的な依存関係を示す。
• 本結果により、Fano水平的多様体に対する新たな不変量が得られ、解析的幾何（リッチ下界）と代数的幾何的データ（多面体と重心）を結びつける。