[論文レビュー] $k$-Indivisible Noncrossing Partitions

Henri Mühle, Philippe Nadeau+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2019

semigroups and automata theory被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、$k$-indivisible で非交叉な分割——$[kn+1]$ の非交叉な集合分割で、すべてのブロックサイズおよびブロック内の隣接する要素の差が $k$ を法として 1 に合同であるもの——を導入し、それらを研究する。著者らは、これらの分割と特定の格子路との間の全単射を確立し、$N = kn+1$ として、$rac{2}{N+1}inom{N+n}{n}$ で与えられる数え上げ式を証明した。さらに、$k$-パーキング関数、カンブリアン格子、および非ネスト型の類似構造を用いて、古典的な非交叉分割の構造をこの新しい設定へ一般化した。

ABSTRACT

For a fixed integer $k$, we consider the set of noncrossing partitions, where both the block sizes and the difference between adjacent elements in a block is $1\bmod k$. We show that these $k$-indivisible noncrossing partitions can be recovered in the setting of subgroups of the symmetric group generated by $(k+1)$-cycles, and that the poset of $k$-indivisible noncrossing partitions under refinement order has many beautiful enumerative and structural properties. We encounter $k$-parking functions and some special Cambrian lattices on the way, and show that a special class of lattice paths constitutes a nonnesting analogue.

研究の動機と目的

• ブロックサイズおよび隣接差がすべて $k$ を法として 1 に合同であるような、非交叉分割の新しいクラスを定義し、特徴づけること。
• これらの分割と $(k+1)$-巡回置換によって生成される対称群の部分群との関係を確立すること。
• パーキング関数、カンブリアン格子、非ネスト型分割といった、古典的な非交叉分割の構造を、$k$-indivisible の設定へ一般化すること。
• このような分割およびそのマルチチェーンの数え上げ式を証明すること。
• オーダー複体の EL-シェーリング可能性およびホモトピー型といった、トポロジカル性質に関する予想を提示すること。

提案手法

• $k$-indivisible な非交叉分割を、$[kn+1]$ 上の非交叉分割として定義し、すべてのサイクルおよびその Kreweras 補集合の長さが $\equiv 1 \pmod{k}$ であるものとする。
• 長サイクルを $(k+1)$-サイクルへの分解における Hurwitz 動作用を用いて、順序集合の構造を特徴づける。
• $\mathrm{NC}_{N;k}$ の最大鎖と $k$-パーキング関数との間の全単射を確立する。
• 三角形の順序集合の理想として、非ネスト型の類似構造を構成し、これが $k$-indivisible な非交叉分割と双対であることを示す。
• 境界路の上に弱くある格子路の再帰的分解を用いて、数え上げ式を証明する。
• 行列式の公式と再帰的関係式を適用し、経路数の閉形式を導出し、組合せ的恒等式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのブロックサイズおよび隣接差が $\equiv 1 \pmod{k}$ であるような非交叉分割の組合せ的特徴づけは何か？
• RQ2 $k$-indivisible な非交叉分割の順序集合はどのように数え上げられ、その zeta 多項式は何か？
• RQ3 $k$-パーキング関数はこの新しいクラスの分割へ一般化可能か？また、最大鎖とはどのように関係するか？
• RQ4 $k$-indivisible な非交叉分割の非ネスト型類似構造を構成可能か？また、非交叉型と双対であるか？
• RQ5 $\mathrm{NC}_{N;k}$ は EL-ラベル付けを許容するか？そのオーダー複体（最小元および最大元を除く）のホモトピー型は何か？

主な発見

• $[kn+1]$ 上の $k$-indivisible な非交叉分割の数は、$N = kn+1$ として、$\frac{2}{kn+2}\binom{kn+n+1}{n}$ に等しい。
• $\mathrm{NC}_{N;k}$ の順序集合は、zeta 多項式 $Z_{N;k}(q+1) = \frac{q+1}{Nq+1}\binom{Nq+n}{n}$ で数え上げられ、古典的な公式を一般化する。
• $\mathrm{NC}_{N;k}$ の最大鎖と $k$-パーキング関数との間には全単射が存在し、[30] の結果を拡張する。
• $k$-indivisible な非交叉分割の非ネスト型類似構造は、三角形の順序集合の理想と双対であり、同じ数え上げ式で与えられる。
• このような理想の数は、二項係数を含む行列式の公式によって与えられ、再帰的関係式が導かれる。
• 著者らは、$\mathrm{NC}_{N;k}$ が EL-シェーリング可能であり、そのオーダー複体（最小元および最大元を除く）が球のワッペンにホモトピー同値であると予想している。