[論文レビュー] k-medoids and p-median clustering are solvable in polynomial time for a 2d Pareto front

Nicolas Dupin, Frank Nielsen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2018

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ひとこと要約

この論文は、動的計画法を用いて、2次元パレート前線におけるk-meansおよびp-medianクラスタリングが多項式時間で解けることを証明している。主な貢献は、K ≥ 3の場合にO(N³)時間およびO(KN)空間で実行されるアルゴリズムであり、K=2の場合はO(N²)である。このアルゴリズムは、区間クラスタリングおよびコストの単調性特性を用いた、最適クラスタの新しい特徴付けに基づいている。

ABSTRACT

This paper examines a common extension of k-medoids and k-median clustering in the case of a two-dimensional Pareto front, as generated by bi-objective optimization approaches. A characterization of optimal clusters is provided, which allows to solve the optimization problems to optimality in polynomial time using a common dynamic programming algorithm. More precisely, having $N$ points to cluster in $K$ subsets, the complexity of the algorithm is proven in $O(N^3)$ time and $O(K.N)$ memory space when $K\geqslant 3$, cases $K=2$ having a time complexity in $O(N^2)$. Furthermore, speeding-up the dynamic programming algorithm is possible avoiding useless computations, for a practical speed-up without improving the complexity. Parallelization issues are also discussed, to speed-up the algorithm in practice.

研究の動機と目的

• 多目的最適化における非支配解の集合からK個の代表的解を選択する課題に対処すること。
• 一般にNP困難であるが、2次元パレート前線におけるk-meansおよびp-medianクラスタリングが多項式時間で解けることを証明すること。
• この特殊ケースのグローバル最適解を計算する効率的な動的計画法アルゴリズムを開発すること。
• 漸近的計算量を変更せずに、枝刈り戦略および並列化による実用的高速化を提供すること。
• 将来の高次元パレート前線向けのヒューリスティクスおよび近似アルゴリズムの基盤を築くこと。

提案手法

• 著者らは、k-meansおよびp-medianクラスタリングを2次元パレート前線に統一的に定式化し、両問題を一般化するコスト関数fαを導入した。
• 最適クラスタがパレート前線の点をソートした順序で連続する区間であることを証明し、動的計画法の適用を可能にした。
• クラスタ数Kと点数Nを変数とする動的計画法の再帰関係を定義した。状態M_{k,i}は、最初のi個の点をk個のクラスタに分割する最小コストを表す。
• コスト関数fαがクラスタ境界に関して単調であるという重要な性質を用い、内側ループでの早期終了を可能にした。
• 補題7および補題8から導かれる境界を用いて、不要なfα計算を避けるための枝刈り戦略を適用した。
• OpenMPなどのフレームワークを用いて、内側ループにおける独立な計算を特定し、並列化を可能にした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般に平面領域でNP困難であるが、2次元パレート前線におけるk-meansおよびp-medianクラスタリングは多項式時間で解けるか？
• RQ2 2次元パレート前線のどのような構造的性質が動的計画法の適用を可能にするか？
• RQ3 漸近的計算量を向上させずに、実用的最適化を図るにはどうすればよいか？
• RQ4 計算を早期終了できる最適クラスタ分離インデックスのタイトな境界は何か？
• RQ5 大規模なパレート前線において、実行時間の改善を図るため、アルゴリズムを効果的に並列化できるか？

主な発見

• 2次元パレート前線におけるk-meansおよびp-medianクラスタリング問題は、動的計画法を用いて多項式時間で解ける。
• 時間計算量はK ≥ 3の場合はO(N³)、K = 2の場合はO(N²)であり、空間計算量はO(KN)である。
• アルゴリズムは区間クラスタリング特性を活用しており、最適クラスタがパレート前線のソート順序で連続していることを証明した。
• 最適クラスタ分離インデックスの上限および下限に基づく枝刈り戦略により、高価なfα計算の回数が削減された。
• コスト計算フェーズの内側ループにおける並列化は実現可能であり、特に大規模なNに対して効果的であるが、漸近的計算量に変更はない。
• K=1およびα>1の場合、2次元パレート前線が凸または凹である場合にはO(N log N)時間で問題を解ける。