[論文レビュー] $K(\\pi,1)$ conjecture for Artin groups

Luis Paris|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 40被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、アーティン群の $K(\pi,1)$ 予想について包括的なサーベイと参考文献を提供し、既知の結果を統合し、新しい証明を提示する。同定は、FC型アーティン群のSalvetti複体がホモトピー型としてEilenberg-MacLane空間であることを示すことにより、その予想が成り立つことを確立する。この証明には、ホモトピー的技法とコクセター図の部分集合に対する帰納法が用いられる。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to put together a large amount of results on the $K(\\pi,1)$ conjecture for Artin groups, and to make them accessible to non-experts. Firstly, this is a survey, containing basic definitions, the main results, examples and an historical overview of the subject. But, it is also a reference text on the topic that contains proofs of a large part of the results on this question. Some proofs as well as few results are new. Furthermore, the text, being addressed to non-experts, is as self-contained as possible.

研究の動機と目的

• アーティン群の $K(\pi,1)$ 予想に関する広範な結果を統合し、アクセス可能にする。
• 専門外の読者向けに、自己完結的な参考文献を提供し、新規の証明と結果を含む。
• ホモトピー的および群論的技法を用いて、FC型アーティン群における $K(\pi,1)$ 予想を確立する。
• パラボリック部分群の役割とそのホモトピー的性質が予想に果たす役割を明確にする。
• Salvetti複体の構成を、補集合空間のホモトピー型を分析する中心的ツールとして提示する。

提案手法

• 凸錐 $I$ 内の無限超平面配置に対してSalvetti複体を構成し、$I\times I$ 内の $\bigcup_{H\in\mathcal{A}}(H\times H)$ の補集合と同一のホモトピー型を持つことを証明する。
• Salvetti複体のセル分割を用いて、空間 $N(W)$ の基本群がコクセター群 $W$ に付随するアーティン群 $A$ と同型であることを示す。
• 一般枠組みを用いて、デリーニュの定理（有限コクセター群に対して $K(\pi,1)$ 予想が成り立つ）を再証明する。
• 五つの補題とリトラクションの議論を用いて、基本群および高次ホモトピー群間の準同型の単射性を示す。
• 生成子の数に関する帰納法とMayer-Vietorisの議論を組み合わせ、$T,R$ が $m_{s,t}=\infty$ を満たすペアを除いて得られるとき、$\mathrm{Sal}(\Gamma_T)$ と $\mathrm{Sal}(\Gamma_R)$ が $K(\pi,1)$ ならば、$\mathrm{Sal}(\Gamma)$ も $K(\pi,1)$ であることを証明する。
• すべての $T\in\SS^{<\infty}$ に対して $\mathrm{Sal}(\Gamma_T)$ が $K(\pi,1)$ であるならば、被覆空間およびホモトピー上昇性質を用いて $\mathrm{Sal}(\Gamma)$ も $K(\pi,1)$ であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーティン群のSalvetti複体が $K(\pi,1)$ 空間であるための条件は何か？
• RQ2 アーティン群のパラボリック部分群は $K(\pi,1)$ 予想とどのように関係するか？
• RQ3 $K(\pi,1)$ 予想はホモトピー的分解により、より小さい部分図に還元可能か？
• RQ4 FC型条件が $K(\pi,1)$ 性質を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 Salvetti複体を用いて、補集合空間の高次ホモトピー群が自明であることをどのように証明できるか？

主な発見

• FC型アーティン群に対して $K(\pi,1)$ 予想が成り立つ。これは、すべての $T\in\SS^{<\infty}$ に対して $\mathrm{Sal}(\Gamma_T)$ が $K(\pi,1)$ 空間であることを示し、帰納法を適用することで証明された。
• 錐 $I$ 内の無限配置に対するSalvetti複体の構成は、補集合空間 $N(W)$ と同じホモトピー型を持つことが示され、これは有限CWモデルを提供する。
• $N(W)$ の基本群は、Salvetti複体のセル分割によって、アーティン群 $A$ と同型であることが確立された。
• パラボリック部分群の包含写像は、すべてのホモトピー群に単射準同型を誘導し、すべての $n$ に対して $\pi_n(\mathrm{Sal}(\Gamma_T)) \to \pi_n(\mathrm{Sal}(\Gamma))$ が単射であることを保証する。
• $\Gamma$ が $m_{s,t}=\infty$ を満たすペア $s,t$ を含み、かつ $\mathrm{Sal}(\Gamma_{S\setminus\{s\}})$ と $\mathrm{Sal}(\Gamma_{S\setminus\{t\}})$ が $K(\pi,1)$ であるならば、Mayer-Vietorisと被覆空間の議論により $\mathrm{Sal}(\Gamma)$ も $K(\pi,1)$ であることが示された。
• 一般枠組みを用いて、予想は有限コクセター群のケースに還元されたが、その証明は無限の場合に直接拡張されない。