[論文レビュー] K-Theory and Pseudospectra for Topological Insulators

Terry A. Loring|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2015

Topological Materials and Phenomena参考文献 35被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、境界を持つ有限格子における不規則なトポロジカル・インスレーターおよびスーパーコンダクターのトポロジカルな不変量を計算するための計算的に効率的なアルゴリズムを、クリフォード擬スペクトルおよびK理論に基づいて提案する。2次元までおよび3次元で1次元のすべての対称性クラスにおいて、キタエフの不変量の公式を導出し、スパース行列技術を用いた数値的相転移検出と3次元系におけるスケーリング行動の実証を可能にする。

ABSTRACT

We derive formulas and algorithms for Kitaev's invariants in the periodic table for topological insulators and superconductors for finite disordered systems on lattices with boundaries. We find that K-theory arises as an obstruction to perturbing approximately compatible observables into compatible observables. We derive formulas in all symmetry classes up to dimension two, and in one symmetry class in dimension three, that can be computed with sparse matrix algorithms. We present algorithms in two symmetry classes in 2D and one in 3D and provide illustrative studies regarding how these algorithms can detect the scaling properties of phase transitions.

研究の動機と目的

• 境界を持つ不規則な有限系におけるキタエフのトポロジカル不変量を数値的に扱いやすい方法で計算するための手法を開発すること。
• 近似的に整合する観測量を正確に整合させる際の障害とK理論との間の関係を確立すること。
• 2次元までおよび3次元で1次元のすべての対称性クラスにおけるトポロジカル不変量の計算可能な公式を提供すること。
• スパース行列アルゴリズムを用いたトポロジカル不変量のスケーリング解析を通じて、相転移の数値的検出を可能にすること。
• 既存のハードウェア上で3次元トポロジカル・インスレーターの相転移を、新アルゴリズムによるデータ品質の向上を伴って研究可能であることを示すこと。

提案手法

• 近似的に整合する観測量の連立スペクトルの計算可能な代理としてクリフォード擬スペクトルを導入し、エルミート行列とクリフォード生成子を含む行列値作用素の逆ノルムを用いて定義する。
• 行列 $ B_{\boldsymbol{\lambda}} = \sum (X_j - \lambda_j) \otimes \Gamma_j $ を用いて、クリフォード $\epsilon$-擬スペクトルを定義する。ここで $ \Gamma_j $ は $ \mathcal{C\ell}_{d,0}(\mathbb{C}) $ の関係を満たす。
• ハミルトニアンから得られるスパース実行列に対して、LU分解を用いたべき乗法を用いて $ \|A^{-1}\|^{-1} $ を計算し、スペクトルギャップの推定を可能にする。
• 置換を伴うスパースLU分解の後、$ \mathrm{sign}(\det(A)) = \mathrm{sign}(\det(R)) \cdot \mathrm{sign}(\det(P)) \cdot \mathrm{sign}(\det(Q)) $ を用いて行列式の符号を計算する。
• 定数初期ベクトルとMATLABの \ 演算子による行列自由な逆行列計算を用いた修正べき乗法により、$ \|A^{-1}\| $ を効率的に計算する。
• アルゴリズムを用いて、クラスAII 3次元インスレーターにおけるグローバルおよびローカルのトポロジカル不変量を計算し、不規則性に起因する相転移を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を持つ不規則な有限系におけるK理論不変量を効率的に計算する方法は何か？
• RQ2 近似的な整合性と、K理論が捉える正確な整合性への障害との関係は何か？
• RQ3 クリフォード擬スペクトルは、概ね可換な行列の連立スペクトルに対する数値的に安定で効率的な近似を提供できるか？
• RQ4 不規則性下での3次元トポロジカル・インスレーターの相転移付近におけるトポロジカル不変量のスケーリングはいかなるものか？
• RQ5 従来の手法と比較して、新アルゴリズムにより相転移解析のためのデータ品質が向上するか？

主な発見

• クリフォード擬スペクトルは、近似的に整合する観測量の連立スペクトルに対する計算可能な近似を提供し、K理論と理論的関係を有する。
• スパース行列アルゴリズムを用いて、2次元までおよび3次元で1次元のすべての対称性クラスにおけるキタエフ不変量を効果的に計算できた。
• アルゴリズムは3次元クラスAIIインスレーターにおけるトポロジカル相転移のスケーリング行動を検出でき、明確でない転移が存在し、完全に解明するにはより大きな系が必要であることを示した。
• 新アルゴリズムは従来の手法よりもはるかにクリアなデータを生成し、アーチファクトが少ない信頼性の高い相転移解析を可能にした。
• 3次元のグローバルクラスAII不変量は、4コア8GB RAMのデスクトップでローカルインデックス法を用いて計算可能であるが、より大きな系では高性能コンピュータクラスタが必要である。
• 定数初期ベクトルの使用とLU分解による行列自由な逆行列計算により、スペクトルギャップを計算するべき乗法の収束性と精度が向上した。